解:(1)由f(-1)=-f(1)可得m=0. (2分)
所以當(dāng)m=0時,因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/70160.png' />,f(-x)=-f(x).即f(x)為奇函數(shù). (4分)
(2)設(shè)
,則當(dāng)x>0時,
,可得
(5分)
令g′(x)=0,可得x=e. (6分)
令g′(x)>0,x>0,可得0<x<e;令g′(x)<0,可得x>e.
所以函數(shù)g(x)在(0,e)上遞增,在(e,+∞)上遞減. (8分)
由于g(x)為奇函數(shù),所以g(x)函數(shù)在(-e,0)上遞增,在(-∞,-e)上遞減.
且x>e時,g(x)>0,x<-e時,g(x)<0(9分)
所以有:
(10分)
當(dāng)0<x<e時,f(x)<g(e)+m,當(dāng)x>e時,m<f(x)<g(e)+m
所以當(dāng)-e<x<0時,f(x)>g(-e)+m
當(dāng)x<-e時,g(-e)+m<f(x)<m(11分)
若f(x)圖象與X軸恰有三個公共點(diǎn),則
或
(12分)
分析:(1)利用f(-1)=-f(1)可得m=0,再利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可;
(2)設(shè)
,則當(dāng)x>0時,
,求導(dǎo)函數(shù),確定函數(shù)的單調(diào)性,從而確定函數(shù)的極值,再利用函數(shù)f(x)的圖象與x軸恰有三個不同的公共點(diǎn),建立不等式,即可求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
點(diǎn)評:本題重點(diǎn)考查函數(shù)的性質(zhì),考查函數(shù)的單調(diào)性,考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用,考查學(xué)生的分析解決問題的能力,需要一定的基本功.