Question

已知函數(shù)f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
（1）若0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，求f（α）的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用同角三角函數(shù)關(guān)系求得cosα的值，分別代入函數(shù)解析式即可求得f（α）的值．
（2）利用兩角和公式和二倍角公式對(duì)函數(shù)解析式進(jìn)行恒等變換，進(jìn)而利用三角函數(shù)性質(zhì)和周期公式求得函數(shù)最小正周期和單調(diào)增區(qū)間．

解答： 解：（1）∵0＜α＜

π

2

，且sinα=

2

2

，
∴cosα=

2

2

，
∴f（α）=cosα（sinα+cosα）-

1

2

，
=

2

2

×（

2

2

+

2

2

）-

1

2

=

1

2

．
（2）f（x）=cosx（sinx+cosx）-

1

2

．
=sinxcosx+cos²x-

1

2

=

1

2

sin2x+

1

2

cos2x
=

2

2

sin（2x+

π

4

），
∴T=

2π

2

=π，
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，得kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

，k∈Z，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]，k∈Z．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用．考查了學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用．