已知橢圓C:數(shù)學公式的離心率是數(shù)學公式,其左、右頂點分別為A1,A2,B為短軸的端點,△A1BA2的面積為數(shù)學公式
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)F2為橢圓C的右焦點,若點P是橢圓C上異于A1,A2的任意一點,直線A1P,A2P與直線x=4分別交于M,N兩點,證明:以MN為直徑的圓與直線PF2相切于點F2

(Ⅰ)解:由已知,可得,解得a=2,. …(4分)
故所求橢圓方程為. …(5分)
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知A1(-2,0),A2(2,0),F(xiàn)2(1,0).
,則
于是直線A1P方程為 ,令x=4,得;
所以M(4,),同理N(4,). …(7分)
所以=(3,),=(3,).
所以=(3,)•(3,)===
所以F2M⊥F2N,點F2在以MN為直徑的圓上. …(9分)
設MN的中點為E,則E(4,). …(10分)
=(3,),
所以=(3,
=
所以F2E⊥F2P. …(12分)
因為F2E是以MN為直徑的圓的半徑,E為圓心,F(xiàn)2E⊥F2P,
故以MN為直徑的圓與直線PF2相切于右焦點. …(13分)
分析:(Ⅰ)根據(jù)橢圓離心率是,其左、右頂點分別為A1,A2,B為短軸的端點,△A1BA2的面積為,建立方程組,可求橢圓方程;
(Ⅱ)求出M、N的坐標,利用向量證明F2M⊥F2N,點F2在以MN為直徑的圓上,確定MN的中點E的坐標,利用向量證明F2E⊥F2P,即可證得以MN為直徑的圓與直線PF2相切于右焦點.
點評:本題考查橢圓的標準方程,考查向量知識的運用,解題的關鍵是確定點的坐標,利用向量的數(shù)量積證明垂直關系.
練習冊系列答案
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A.         B.                  C.2            D.

 

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(Ⅰ)求橢圓C的方程;

(Ⅱ)設直線與橢圓C交于,兩點,點,且,求直線的方程.

 

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