Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，底面為矩形，且，為的中點(diǎn)．

（1）過(guò)點(diǎn)作一條射線(xiàn)，使得，求證：平面 平面；

（2）求二面角的余弦值的絕對(duì)值．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）連線(xiàn)和交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)，由中位線(xiàn)定理得，由線(xiàn)面平行的判定定理得以平面；同理得平面，進(jìn)而由面面平行得判定定理可得結(jié)論；（2）分別以，，所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面的一個(gè)法向量和平面的一個(gè)法向量，進(jìn)而用空間向量夾角余弦公式求解.

試題解析：（1）證明：在矩形中，連線(xiàn)和交于點(diǎn)，連接，則是的中點(diǎn)，由于是的中點(diǎn)，所以是△的中位線(xiàn)，則，

又平面，平面，

所以平面，

又，同理得平面，

因?yàn)?/span>，所以平面平面．

（2）解：分別以，，所在的直線(xiàn)為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

設(shè)，則，，故，，，，

所以，，，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有即令，則，，故．

同理，可得平面的一個(gè)法向量，

所以，即二面角的余弦值的絕對(duì)值為．