解:(1)當b=1時,f(x)=x
2+ln(x+1)-2x定義域為(-1,+∞),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12751.png)
,f
′(0)=-1,又f(0)=0,
故有直線的方程可知:曲線f(x)在點(0,f(0))出的切線方程為:y=-x,
(2)當b=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12752.png)
,
求導(dǎo)得:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12753.png)
,
由f
′(x)=0?
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12754.png)
,
當x變化時,f
′(x),f(x)的變化情況如下表:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201306/51d60184e5263.png)
由上表可知:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12755.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12756.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12757.png)
,
所以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12758.png)
,所以函數(shù)f(x)在(-1,1]上的最大值為:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12759.png)
,
(3)證明:∵f(x)=x
2+bln(x+1)-2x
∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12761.png)
=0.
當且僅當2(x+1)=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12762.png)
,即:b=2,且x=0時取等號,
∴b≥2時,函數(shù)f(x)在(-1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,從而對于任意x
1,x
2∈(-1,+∞)且x
1≥x
2,有f(x
1)>f(x
2),即
g(x
1)-2x
1≥g(x
2)-2x
2∴g(x
1)-g(x
2)≥2(x
1-x
2)
分析:(1)把b=1代入解析式,使得解析式具體,對于函數(shù)求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)的幾何意義即可求的;
(2)把
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/12750.png)
代入解析式,由函數(shù)求導(dǎo)得導(dǎo)函數(shù),求出函數(shù)在定義域上的極值,在與區(qū)間端點值進行比較大小,進而求得函數(shù)在區(qū)間上的最值;
(3)由于g(x)=f(x)+2x,由函數(shù)解析式求導(dǎo)得其導(dǎo)函數(shù),利用導(dǎo)函數(shù)得到函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性,進而得到要證明的不等式.
點評:此題考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,還考查了導(dǎo)數(shù)的幾何含義進而求出曲線上任意一點處的切線方程,還考查了利用均值不等式求解函數(shù)的最值.