已知點M到雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1的左、右焦點的距離之比為2：3．
（1）求點M的軌跡方程；
（2）若點M的軌跡上有且僅有三個點到直線y=x+m的距離為4，求實數(shù)m的值．
分析：（1）確定雙曲線的左、右焦點，利用距離之比為2：3，建立方程，化簡可得點M的軌跡方程；
（2）圓上有且僅有三點到直線y=x+m的距離為4，所以圓心到直線y=x+m的距離為8，即可求出結(jié)論．
解答：解：（1）雙曲線
x2
16
-
y2
9
=1的左、右焦點為F1（-5，0），F(xiàn)2（5，0）．…（1分）
設點M（x，y），則
MF1
MF2
=
2
3
，即
(x+5)2+y2
(x-5)2+y2
=
2
3
．     …（3分）
化簡得點M的軌跡方程為x2+y2+26x+25=0．        …（7分）
（2）點M的軌跡方程即為（x+13）2+y2=144，它表示以（-13，0）為圓心，12為半徑的圓．       …（9分）
因為圓上有且僅有三點到直線y=x+m的距離為4，
所以圓心到直線y=x+m的距離為8，即
|-13+m|
1+1
=8．  …（12分）
解得 m=13±8
2
．                                 …（14分）
點評：本題考查軌跡方程，考查雙曲線的幾何性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦點和上頂點分別為F1、F2、B，我們稱△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個橢圓的特征三角形是相似三角形，則稱這兩個橢圓為“相似橢圓”，且特征三角形的相似比即為相似橢圓的相似比．已知橢圓C1
x2
a2
+
y2
b2
=1以拋物線y2=4
3
x的焦點為一個焦點，且橢圓上任意一點到兩焦點的距離之和為4．（1）若橢圓C2與橢圓C1相似，且相似比為2，求橢圓C2的方程．
（2）已知點P（m，n）（mn≠0）是橢圓C1上的任一點，若點Q是直線y=nx與拋物線x2=
1
mn
y異于原點的交點，證明點Q一定落在雙曲線4x2-4y2=1上．
（3）已知直線l：y=x+1，與橢圓C1相似且短半軸長為b的橢圓為Cb，是否存在正方形ABCD，使得A，C在直線l上，B，D在曲線Cb上，若存在求出函數(shù)f（b）=SABCD的解析式及定義域，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的焦點F1、F2，點M在雙曲線上且MF1⊥x軸，則F1到直線F2M的距離為（　�。�
A、
6
34
17
B、
4
51
17
C、
12
5
D、
5
12

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列命題：
①動點M到兩定點A、B的距離之比為常數(shù)λ（λ＞0且λ≠1），則動點M的軌跡是圓；
②橢圓
x2
2b2
+
y2
b2
=1的離心率是
2
2
；
③雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的焦點到漸近線的距離是b；
④已知拋物線y2=2px上兩點A（x1，y1）、B（x2，y2），且OA⊥OB（O是坐標原點），則y1y2=-p2．
其中正確命題的序號是
①②③
①②③
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2-
y2
b2
=1(b＞0)的左、右焦點，過F2作垂直于x軸的直線，在x軸上方交雙曲線于點M，且∠MF1F2=300，圓O的方程為x2+y2=b2．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）若雙曲線C上的點到兩條漸近線的距離分別為d1，d2，求d1•d2的值；
（3）過圓O上任意一點P（x0，y0）作切線l交雙曲線C于A，B兩個不同點，求
OA
•
OB
的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知雙曲線x2-
y2
3
=1的左、右焦點為F1、F2，過點F2的直線L與其右支相交于M、N兩點（點M在x軸的上方），則點M到直線y=
3
x的距離d的取值范圍是
 
．

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