Question

已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為實(shí)數(shù)，.

（Ⅰ）若在區(qū)間［-1，1］上的最小值、最大值分別為-2、1，求a、b的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求經(jīng)過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù)，試判斷函數(shù)的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）或（Ⅲ）時(shí)極值點(diǎn)個(gè)數(shù)0，當(dāng)時(shí)兩個(gè)極值點(diǎn)

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由已知得，，        1分

由得.

，當(dāng)時(shí)，遞增；

當(dāng)時(shí)，，遞減.

在區(qū)間［-1，1］上的最大值為.      2分

又.

由題意得，即，得為所求。        4分

（Ⅱ）解：由（1）得，點(diǎn)P（2，1）在曲線上。

當(dāng)切點(diǎn)為P（2，1）時(shí)，切線的斜率，

的方程為.      5分

當(dāng)切點(diǎn)P不是切點(diǎn)時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為切線的余率，

的方程為。又點(diǎn)P（2，1）在上，，

，

.切線的方程為.

故所求切線的方程為或.              8分

（Ⅲ）解：.

.

.

二次函數(shù)的判別式為

得：

.令，得，或。        10分

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013071212162504097020/SYS201307121217282790341074_DA.files/image042.png">，

時(shí)，，函數(shù)為單調(diào)遞增，極值點(diǎn)個(gè)數(shù)0；   11分

當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)極值點(diǎn)的定義，

可知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn).                12分

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的極值最值

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值等于該點(diǎn)處的切線斜率，利用幾何意義在求解第二問時(shí)需分點(diǎn)是否在曲線上兩種情況；函數(shù)在閉區(qū)間上的最值出現(xiàn)在極值點(diǎn)或區(qū)間的邊界處，函數(shù)存在極值需滿足函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值有正有負(fù)