Question

求滿足方程|Z+3-

3

i|=

3

的輻角主值最小的復(fù)數(shù)Z．

Answer 1

分析：首先明確z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡，再進(jìn)一步求解．

解答：解：滿足方程|Z+3-

3

i|=

3

的復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的全體組成了如圖所示的一個(gè)圓，
其圓心A對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3+

3

i，半徑為

3

，因而圓與x軸相切于點(diǎn)Q，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)是-3
從點(diǎn)O作圓的另一條切線OP，P為切點(diǎn)，
則點(diǎn)P所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為所求的復(fù)數(shù)
∵-3+

3

i=2

3

(cos150°+isin150°)，
設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為1，
∴∠BOA=150°，|OA|=2

3

，∠QOA=180°-∠BOA=30°
∵OP、OQ是同一點(diǎn)引出的圓的兩條切線，A是圓心，
∴∠AOP=∠QOA=30°，∠QOP=2∠QOA=60°，
∠BOP=180°-∠QOP=120°，
|OP|=|OA|cos∠AOP=2

3

•

3

2

=3．
∴所求的復(fù)數(shù)Z=3(cos120°+isin120°)=3(-

1

2

+

3

2

i)=-

3

2

+

3

2

3

i．

點(diǎn)評(píng)：本題是復(fù)數(shù)的幾何意義和簡(jiǎn)單解析結(jié)合的綜合的考查．