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(1)證明函數 f(x)=x+數學公式 在x∈[2,+∞)上是增函數;
(2)求f(x)在[4,8]上的值域.

證明:(1)設2<x1<x2,則
f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=x1-x2+
=(x1-x2)(1-
∵2<x1<x2
∴x1-x2<0,x1x2>4即0<<1,
∴1->0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2
∴f(x)是增函數;
(2)由(1)知f(x)在[4,8]上是增函數,
f(x)max=f(8)=;
f(x)min=f(4)=5,
∴f(x)的值域為:[5,];
分析:(1)用定義證明,則先在給定的區(qū)間上任取兩個變量,且界大小,再作差變形看符號,若自變量與相應函數值變化一致,則為增函數,若自變量變化與相應函數值變化相反時,則為減函數.
(2)已經知道f(x)為增函數,根據函數的單調性,可以求出其值域;
點評:本題主要考查用單調性定義如何來證明函數單調性的,要注意幾點:一是自變量的任意性,二是來自相應的區(qū)間,三是變形要到位,要用上已知條件;
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=1-
22x+1
,
(1)證明函數f(x)的奇偶性;
(2)利用函數單調性的定義證明:f(x)是其定義域上的增函數.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知f(x)是定義在區(qū)間[-1,1]上的奇函數,且f(1)=1,若m、n∈[-1,1],m+n≠0時,有
f(m)+f(n)
m+n
>0.
(1)證明函數f(x)在其定義域上是增函數;
(2)解不等式f(x+
1
2
)<f(1-x)

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=x2-2|x|-1.
(1)證明函數f(x)是偶函數;
(2)在如圖所示的平面直角坐標系中作出函數f(x)的圖象.
(3)根據圖象求該函數的單調區(qū)間.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(1)證明函數 f(x)=x+
1x
在x∈[1,+∞)上是增函數;
(2)求f(x)在[2,4]上的值域.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•廣州二模)已知函數f(x)的定義域為(-1,1),且f(
1
2
)=1
,對任意x,y∈(-1,1),都有f(x)-f(y)=f(
x-y
1-xy
)
,數列{an}滿足a1=
1
2
,an+1=
2an
1+
a
2
n
(n∈N*)

(1)證明函數f(x)是奇函數;
(2)求數列{f(an)}的通項公式;
(3)令An=
a1+a2+…+an
n
(n∈N*)
,證明:當n≥2時,|
n
i=1
ai-
n
i=1
A1|<
n-1
2

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