Question

（本題滿分12分）

在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱底面， ，點是的中點，作交于.

（Ⅰ）求證：∥平面；

（Ⅱ）求證：平面；

（Ⅲ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）詳見解析;（Ⅱ）詳見解析;（Ⅲ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）連結(jié)，與交于.由中位線可得∥.根據(jù)線面平行的判定定理可證得∥平面.（Ⅱ）由底面可證得,又因為是正方形,根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面,從而可得.根據(jù)等腰三角形中線即為高線可得,根據(jù)線面垂直判定定理可證得平面,從而可得又可得平面.（Ⅲ）以點為坐標原點建立空間直角坐標系. 設(shè),可得各點的坐標,從而可得各向量坐標.根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0可得面和面的法向量.根據(jù)數(shù)量積公式可得兩法向量夾角的余弦值,可得兩法向量夾角. 兩法向量夾角與二面角相等或互補.由觀察可知所求二面角為銳角.

試題解析：【解析】
（Ⅰ）連結(jié)，與交于，

∵是正方形，∴則為的中點

∵是的中點，

∴∥

∵平面，平面

∴∥平面 3分

（Ⅱ）∵底面，平面

∴

∵，

∴平面 4分

∵平面，

∴

∵是的中點，

∴

∵

∴平面 6分

而平面，

∴

又，

平面 8分

（Ⅲ）如圖建立空間直角坐標系，點為坐標原點，設(shè)

則 9分

設(shè)平面的法向量是，則，

所以，，即 10分

設(shè)平面的法向量是，則

所以，，即 11分

，即面角的大小為. 12分

考點：1線面平行;2線面垂直;3空間向量法解決立體幾何問題.