已知函數(shù)f(x)=log2(x-1)。
(Ⅰ)求函數(shù)y=f(x)的定義域;
(Ⅱ)設(shè)g(x)=f(x)+a,若函數(shù)y=g(x)在(2,3)內(nèi)有且僅有一個零點,求實數(shù)a的取值范圍;(Ⅲ)設(shè)h(x)=f(x)+,是否存在正實數(shù)m,使得函數(shù)y=h(x)在[3,9]內(nèi)的最小值為4?若存在,求出m的值;若不存在,請說明理由.
解:(Ⅰ)∵f(x)=log2(x-1),
∴x-1>0,即x>1,
∴f(x)的定義域為{x|x>1};
(Ⅱ)∵g(x)=f(x)+a=log2(x-1)+a 在定義城內(nèi)為增函數(shù),
又y=g(x)在(2,3)內(nèi)有且僅有一個零點, 
∴g(2)·g(3)<0,
∵g(2)=f(2)+a=a,
g(3)=f(3)+a=1+a,
∴a(a+1)<0,得-1<a<0,
故實數(shù)a的取值范圍為(-1,0)
(Ⅲ)∵x∈[3,9],
∴f(x)∈[1,3],令t=f(x),
,

當且僅當時取等號,
∴當m>9時,在t∈[1,3]內(nèi)為減函數(shù)(不要求證明),
∴當t=3時,取最小值,
=4得m=3<9,矛盾,舍去;
當1≤m≤9時,
時,取最小值,
得m=4;
當0<m<1時,在t∈(1,3] 內(nèi)為增函數(shù)(不要求證明),
∴當t=1時;取最小值1+m,
由1+m=4得m=3>1,矛盾,舍去,
所以存在m=4,使函數(shù)y=h(x)在[3,9]內(nèi)的最小值為4。
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x1+x2
2
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1
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3
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6
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6
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