【答案】
(1)解:設(shè)Q(x0,4),代入y2=2px得x0=
,
∴|PQ|=
,|QF|=
+x0=
+
.
由題設(shè)得
+
=2×
,解得p=﹣4(舍去)或p=4,
∴拋物線C的方程為y2=8x.
(2)解:由題設(shè)知,l與坐標(biāo)軸不垂直,且過焦點(diǎn)F(2,0),
故可設(shè)l的方程為x=my+2(m≠0),
代入y2=8x得y2﹣8my﹣16=0.
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=8m,y1y2=﹣16.
故AB的中點(diǎn)為D(4m2+2,4m),
|AB|=
|y1﹣y2|=
=8(m2+1).
又l′⊥l,所以l′的斜率為﹣m,
所以l′的方程為x=﹣
y+4m2+6.
將上式代入y2=8x,并整理得y2+
y﹣8(4m2+6)=0,
設(shè)M(x3,y3),N(x4,y4),
則y3+y4=﹣
,y3y4=﹣8(4m2+6).
故MN的中點(diǎn)為E(
+4m2+6,﹣
),
|MN|=
|y3﹣y4|=
=
,
由于MN垂直平分AB,故A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上等價于|AE|=|BE|=
|MN|,
又在Rt△ADE中,丨AD丨2+丨DE丨2=丨AE丨2,
從而
|AB|2+|DE|2=
|MN|2,
即16(m2+1)2+(4m+
)2+(
+4)2=
,
化簡得m2﹣1=0,m=±1,
所以當(dāng)A,M,B,N四點(diǎn)在同一圓上時,l的方程為x=±y+2,即x±y﹣2=0.
![](http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2018/02/23/15/13fad181/SYS201802231529239510849290_DA/SYS201802231529239510849290_DA.015.png)
【解析】(1)將Q(x0,4)代入拋物線方程,求得丨PQ丨,根據(jù)拋物線的定義,即可求得p的值,求得C的方程;(2)設(shè)l的方程為 x=my+1 (m≠0),代入拋物線方程化簡,利用韋達(dá)定理、中點(diǎn)公式、弦長公式求得弦長|AB|.把直線l′的方程代入拋物線方程化簡,利用韋達(dá)定理、弦長公式求得|MN|.由于MN垂直平分線段AB,故AMBN四點(diǎn)共圓等價于|AE|=|BE|=
|MN|,由此求得m的值,可得直線l的方程.