Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，且圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0過(guò)A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)．
（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)的方程；
（2）設(shè)直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當(dāng)β-α=

2π

3

時(shí)，證明：點(diǎn)P在一定圓上；
（3）設(shè)橢圓的上頂點(diǎn)為Q，證明：PQ=PF₁+PF₂．

Answer 1

分析：（1）由圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0確定A，F(xiàn)₂兩點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），則可求kPF1，kPF2，利用β-α=

2π

3

，及差角的正切公式，即可證得結(jié)論；
（3）利用兩點(diǎn)間的距離公式，計(jì)算|PQ|²=12-4y，計(jì)算出（|PF₁|+|PF₂|）²，即可得到結(jié)論．

解答：（1）解：圓x2+y2+

3

x-3y-6=0與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)為A(-2

3

，0)，F2(

3

，0)，
故a=2

3

，c=

3

，所以b=3，
∴橢圓方程是：

x2

12

+

y2

9

=1．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)P（x，y），因?yàn)镕₁（-

3

，0），F(xiàn)₂（

3

，0），則kPF1=tanβ=

y

x+ 3

，kPF2=tanα=

y

x- 3

，
因?yàn)棣?α=

2π

3

，所以tan（β-α）=-

3

．
因?yàn)閠an（β-α）=

tanβ-tanα

1+tanαtanβ

=

-2 3 y

x2+y2-3

，所以

-2 3 y

x2+y2-3

=-

3

．
化簡(jiǎn)得x²+y²-2y=3．
所以點(diǎn)P在定圓x²+y²-2y=3上．
（3）證明：∵|PQ|²=x²+（y-3）²=x²+y²-6y+9，x²+y²=3+2y，∴|PQ|²=12-4y．
又|PF₁|²=（x+

3

）²+y²=2y+6+2

3

x，|PF₂|²=（x-

3

）²+y²=2y+6-2

3

x，
∴2|PF₁|×|PF₂|=2

4(y+3)2-12x2

=4

(y+3)2-3x2

，
因?yàn)?x²=9-3y²+6y，所以2|PF₁|×|PF₂|=4

4y2

，
∵β=α+

2π

3

＞

2π

3

，又點(diǎn)P在定圓x²+y²-2y=3上，∴y＜0，
所以2|PF₁|×|PF₂|=-8y，
從而（|PF₁|+|PF₂|）²=|PF₁|²+2|PF₁|×|PF₂|+|PF₂|²=4y+12-8y=12-4y=|PQ|²．
所以|PQ|=|PF₁|+|PF₂|．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查差角的正切公式，考查距離公式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．