Question

已知整數(shù)a，b，c，使等式（x+a）（x+b）+c（x-10）=（x-11）（x+1）對(duì)任意實(shí)數(shù)x均成立，求c的值．

Answer 1

解：將等式（x+a）（x+b）+c（x-10）=（x-11）（x+1）變?yōu)椋海╝+b+c+10）x+ab-10c+11=0（1）…（2分）
依題意，得：等式（1）對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，則有（5分）
由（2）得：b=-a-c-10…（4）
將（4）代入（3）得：=（7分）
∵a，c均為整數(shù)，∴a+10整除11
即a+10為11或1或-11或-1
當(dāng)a+10=11即a=1時(shí) c=0；
當(dāng)a+10=1即a=-9時(shí) c=20；
當(dāng)a+10=-11即a=-21時(shí) c=20；
當(dāng)a+10=-1即a=-11時(shí) c=0；
∵a，c為整數(shù)，∴由（4）可知b必為整數(shù)
∴c的值為20或0…（10分）
分析：將等式（x+a）（x+b）+c（x-10）=（x-11）（x+1）變?yōu)椋海╝+b+c+10）x+ab-10c+11=0，要使等式對(duì)一切實(shí)數(shù)x均成立，必須使得a+b+c+10=0及 ab-10c+11=0，從而進(jìn)一步可得：=，利用a，c均為整數(shù)，可知a+10整除11，從而可求c的值
點(diǎn)評(píng)：本題以等式為載體，考查恒成立處理方法，解題的關(guān)鍵是等式的等價(jià)變形，同時(shí)考查整除性問題．