已知向量a=(sin4πx-cos4πx,2cosπx),b=(1,sinπx),令f(x)=a·b.

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;

(2)若函數(shù)y=f(x+φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,求滿足該條件的φ的最小正值.

(1)解:∵f(x)=a·b=(sin4πx-cos4πx,2cosπx)·(1,sinπx)?

=sin4πx-cos4πx+2cosπxsinπx                                                                 

=(sin2πx-cos2πx)(sin2πx+cos2πx)+sin2πx?

=-cos2πx+sin2πx=2sin(2πx-),                                                                  

即f(x)=2sin(2πx-).?

∴T=1.                                                                                                                   

(2)解法一:∵y=f(x+φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,x∈R,?

∴y=f(x+φ)是奇函數(shù).                                                                                       

則f(0+φ)=0,即sin(2πφ-)=0,                                                                          ?

∴2πφ-=kπ(k∈Z),解得φ=+.?

故φ的最小正值為.                                                                                     ?

解法二:∵y=f(x+φ)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱,?

∴-y=f(-x+φ),則f(-x+φ)=-f(x+φ).                                                                ?

又∵f(x+φ)=2sin［2π(x+φ)-］,?

∴f(-x+φ)=2sin［2π(-x+φ)-］.?

∴2sin［2π(-x+φ)-］=-2sin［2π(x+φ)-］.?

整理,得sin(2πφ-)cos2πx=0,                                                                           ?

∴當(dāng)sin(2πφ-)=0時(shí),sin(2πφ-)cos2πx=0對一切實(shí)數(shù)都成立.?

∴2πφ-=kπ(k∈Z),解得φ=+.?

故φ的最小正值為.


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，
3
)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ；
（2）求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(
2
，2)且f(x)=
a
•
b
+2
（1）求f（x）的表達(dá)式．
（2）用“五點(diǎn)作圖法”畫出函數(shù)f（x）在一個周期上的圖象．
（3）寫出f（x）在[-π，π]上的單調(diào)遞減區(qū)間．
（4）設(shè)關(guān)于x的方程f（x）=m在x∈[-π，π]上的根為x1，x2且m∈(1，
2
)，求x1+x2的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，-2)，
b
=(1，cosθ)，且
a
⊥
b
，則sin2θ+cos2θ的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sinθ，1)，
b
=(1，cosθ)，θ∈(-
π
2
，
π
2
)．
（1）若
a
⊥
b
，求θ的值；
（2）若已知sinθ+cosθ=
2
sin(θ+
π
4
)，利用此結(jié)論求|
a
+
b
|的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知向量
a
=(sin(x-
π
4
)，-1)，
b
=(2，2)且f(x)=
a
•
b
+2
①用“五點(diǎn)法”作出函數(shù)y=f（x）在長度為一個周期的閉區(qū)間的圖象．
②求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
③求函數(shù)f（x）的最大值，并求出取得最大值時(shí)自變量x的取值集合
④函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=sin2x（x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？
⑤當(dāng)x∈[0，π]，求函數(shù)y=2sin(x-
π
4
)的值域
解：（1）列表
（2）作圖
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