Question

數(shù)列{a_n}中，a₁=2，a_n+1=a_n+cn（c是常數(shù)），且a₁，a₂，a₃成公比不為1的等比數(shù)列，則{a_n}的通項(xiàng)公式為（　　）

• A、n²+2n-1
• B、n²-2n+1
• C、n²+n
• D、n²-n+2

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：由題意知（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．再由當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，知c=2．由a_n-a_n-1=（n-1）c，求出通項(xiàng)公式．

解答： 解：a₁=2，a₂=2+c，a₃=2+3c，因?yàn)閍₁，a₂，a₃成等比數(shù)列，
所以（2+c）²=2（2+3c），解得c=0或c=2．
當(dāng)c=0時(shí)，a₁=a₂=a₃，不符合題意舍去，故c=2．
當(dāng)n≥2時(shí)，由于a₂-a₁=c，a₃-a₂=2c，a_n-a_n-1=（n-1）c，
所以a_n-a₁=[1+2+3+…+（n-1）]c=

n(n-1)

2

•c．
又a₁=2，c=2，故a_n=2+n（n-1）=n²-n+2（n=2，3，…）．
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立，
所以a_n=n²-n+2（n=1，2，…）．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意計(jì)算能力的培養(yǎng)．