(1)求證:a5+b5≥a2b3+a3b2,(a,b∈R+);
(2)用反證法證明:若a,b,c均為實數(shù),且,,求證a,b,c中至少有一個大于0.
【答案】分析:(1)化簡a5+b5-( a2b3+a3b2 )等于 (a3-b3)(a2-b2),分a≥b>0時和b≥a>0時兩種情況,都能推出(a3-b3)(a2-b2)≥0,從而證得不等式成立.
(2)假設a、b、c都小于或等于0,則有a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≤0,得出矛盾,可得假設不成立,命題得證.
解答:證明:(1)∵a,b∈R+,且a5+b5-( a2b3+a3b2 )=a2(a3-b3)+b2(b3-a3)=(a3-b3)(a2-b2),
當a≥b>0時,(a3-b3)≥0,(a2-b2)≥0,∴(a3-b3)(a2-b2)≥0,
故 a5+b5≥a2b3+a3b2
當b≥a>0時,(a3-b3)≤0,(a2-b2)≤0,∴(a3-b3)(a2-b2)≥0,
故 a5+b5≥a2b3+a3b2
(2)假設a、b、c都小于或等于0,則有a+b+c=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3≤0,
故 (x-1)2+(y-1)2+(z-1)2≤3-π<0,矛盾,故假設不成立,
即a,b,c中至少有一個大于0.
點評:本題主要考查用比較法證明不等式,用反證法證明不等式,體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學而思想,屬于中檔題.
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(2)用反證法證明:若a,b,c均為實數(shù),且,,,求證a,b,c中至少有一個大于0.

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