Question

已知cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，α∈(

π

2

，π)，β∈(0，

π

2

)，
（1）求cos（

α+β

2

）；
（2）求tan（α+β）．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由條件求得 sin（α-

β

2

）和cos（

α

2

-β）的值，再根據(jù) cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

）-（

α

2

-β）]，
利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果．
（2）由（1）可得

α+β

2

∈（

π

4

，

3π

4

）以及sin

α+β

2

=

1-cos2(  α+β 2 )

 的值，可得 tan

α+β

2

的值，再利用二倍角公式求得 tan（α+β）的值．

解答： 解：（1）∵cos（α-

β

2

）=-

1

9

，sin（

α

2

-β）=

2

3

，α∈(

π

2

，π)，β∈(0，

π

2

)，
∴sin（α-

β

2

）=

4 5

9

，cos（

α

2

-β）=

5

3

．
∴cos（

α+β

2

）=cos[（α-

β

2

 ）-（

α

2

-β）]
=cos（α-

β

2

） cos（

α

2

-β）+sin（α-

β

2

）sin（

α

2

-β）=-

1

9

×

5

3

+

4 5

9

×

2

3

=

7 5

27

．
（2）由（1）可得

α+β

2

∈（

π

4

，

3π

4

 ），∴sin

α+β

2

=

1-cos2(  α+β 2 )

=

22

27

，
∴tan

α+β

2

=

sin α+β 2

cos  α+β 2

=

22

7 5

，∴tan（α+β）=

2tan α+β 2

1-tan2  α+β 2

=

308 5

239

．

點(diǎn)評：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系、二倍角公式的應(yīng)用，屬于中檔題．