在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=數(shù)學(xué)公式（c為常數(shù)，n∈N*）且a1，a2，a5成公比不為1的等比數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{數(shù)學(xué)公式}是等差數(shù)列
（2）求c的值
（3）設(shè)bn=an•an+1，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn＜數(shù)學(xué)公式．

解：（1）證明：∵an+1=
∴=
∴數(shù)列{}是等差數(shù)列；
（2）由（1）知數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，c為公差的等差數(shù)列，
∴=1+（n-1）c=cn+1-c，
∴an=
∴a2=，a5=，
因?yàn)閍1，a2，a5成等比數(shù)列，
所以，
解得c=0或c=2．
當(dāng)c=0時(shí)，a1=a2=a5，不符合題意舍去，
故c=2；
（3）證明：由（2）知an=，bn=an•an+1=
∴Sn==＜
故Sn＜．
分析：（1）要證明數(shù)列{}是等差數(shù)列，即要證明是一個(gè)常數(shù)，對(duì)條件an+1=取倒數(shù)即可證明結(jié)論；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，可以求出數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，從而求得a2，a5，根據(jù)a1，a2，a5成公比不為1的等比數(shù)列，可得，解此方程即可求得結(jié)果；
（3）根據(jù)（2）求得c的值，并代入bn=an•an+1，求出數(shù)列數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)相消法即可求得Sn，從而證明結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查等差數(shù)列的判定方法和裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，利用a1，a2，a5成公比不為1的等比數(shù)列，求出c的值，是解題的關(guān)鍵，注意仔細(xì)審題，考查利用應(yīng)用知識(shí)分析解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，
a
 
1
=1，an=
1
2
an-1+1（n≥2），則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=
2-21-n
2-21-n
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a 1=
1
3
，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=
1
an
（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{
an
n
}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：
1
3
≤Tn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中，a=
12
，前n項(xiàng)和Sn=n2an，求an+1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在數(shù)列{an}中,a1=a,前n項(xiàng)和Sn構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列,________________.

(先在橫線上填上一個(gè)結(jié)論,然后再解答)

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年廣東省汕尾市陸豐市碣石中學(xué)高三（上）第四次月考數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

在數(shù)列{an}中，a，并且對(duì)任意n∈N*，n≥2都有an•an-1=an-1-an成立，令bn=（n∈N*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：．

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