Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O點．
（Ⅰ）求證：平面PBD⊥平面PAC；
（Ⅱ）當點A在平面PBD內(nèi)的射影G恰好是△PBD的重心時，求二面角B-PD-C的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,平面與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角,空間向量及應用

分析：第（1）問，要證平面PBD⊥平面PAC，只需證平面PBD經(jīng)過平面PAC的一條垂線，觀察可看出應選直線BD作為平面PAC的垂線，由PA垂直于底面可得PA垂直于BD，再根據(jù)底面ABCD中已知條件借助三角形全等可證AC垂直AC，則第一問可證；
第（2）問，先確定P點位置，利用幾何法不容易分析，因此考慮建立空間直角坐標系，將之轉(zhuǎn)化為坐標計算問題，通過解方程求出P點坐標，然后再利用向量法求二面角的大小．

解答： 解：（Ⅰ）依題意Rt△ABC≌Rt△AD，∠BAC=∠DAC，△ABO≌△ADO，
∴AC⊥BD．
而PA⊥平面ABCD，PA⊥BD，又PA∩AC=A，所以BD⊥面PAC，
又BD?面PBD，所以平面PAC⊥平面PBD．
（Ⅱ）過A作AD的垂線為x軸，AD為y軸，AP為z軸，建立如圖所示坐標系，
則B(

3

2

，

1

2

，0)，D（0，1，0），C(

3

，1，0)，設P（0，0，λ），
所以G(

3

6

，

1

6

，

λ

3

)，

PB

=(

3

2

，-

1

2

，-λ)，
由AG⊥PB得，

AG

•

PB

=(

3

6

，

1

6

，

λ

3

)•(

3

2

，-

1

2

，-λ)=0，
解得λ2=

1

2

，所以λ=

2

2

．
∴P點坐標為(0，0，

2

2

)，
面PBD的一個法向量為

m

=6

AG

=(

3

，1，

2

)，
設面PCD的一個法向量為

n

=(x，y，z)，

CD

=(-

3

，0，0)，

PD

=(0，1，-

2

2

)
∴

n • PD =0 n • CD =0

即

2 y-z=0 - 3 x=0

，∴

n

=(0，1，

2

)，
cos＜

n

，

m

＞=

n • m

| n || m |

=

(0，1， 2 )•( 3 ，1， 2 )

3 • 6

=

2

2

，
所以二面角B-PD-C的余弦值為

2

2

．

點評：當二面角的平面角不好找或者不好求時，可以采用向量法，一般是先求出兩個半平面的法向量，然后將二面角的大小轉(zhuǎn)化為它們法向量之間的夾角，要注意結(jié)合圖形判斷二面角是鈍角或是銳角，從而確定最終的結(jié)果．