Question

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=x²+|x-a|+1，x∈R，
（1）求當(dāng)a分別取-1，0，1時(shí)，f（x）的最小值；
（2）求f（x）的最小值h（a）的函數(shù)解析式．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)解析式的求解及常用方法,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）考慮絕對(duì)值的定義，去絕對(duì)值，討論二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，即可得到最小值；
（2）改寫成分段函數(shù)的形式，再對(duì)a討論，①當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，②當(dāng)-

1

2

＜a＜

1

2

時(shí)，③當(dāng)a≤-

1

2

時(shí)，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性，即可得到最小值．

解答： 解：（1）①a=-1，f（x）=x²+|x+1|+1，
當(dāng)x＞-1時(shí)，f（x）=x²+x+2，最小值為f（-

1

2

）=

7

4

，
當(dāng)x≤-1時(shí)，f（x）=x²-x，遞減，最小值為f（-1）=0．
則最小值為0；
②a=0時(shí)，x＞0，f（x）=x²+x+1，遞增，f（x）＞1；
x≤0，f（x）=x²-x+1，遞減，f（x）≥1．
則最小值為1；
③a=1時(shí)，x＞1時(shí)，f（x）=x²+x，遞增，f（x）＞2；
x≤1，f（x）=x²-x+2，f（x）≥f(

1

2

)=

7

4

．
則最小值為

7

4

．
（2）f（x）=x²+|x-a|+1=

(x+ 1 2 )2-a+ 3 4 ，x≥a (x- 1 2 )2+a+ 3 4 ，x＜a

，
①當(dāng)a≥

1

2

時(shí)，
f（x）_min=f（

1

2

）=a+

3

4

，
②當(dāng)-

1

2

＜a＜

1

2

時(shí)，
f（x）_min=f（a）=a²+1，
③當(dāng)a≤-

1

2

時(shí)，
f（x）_min=f（-

1

2

）=

3

4

-a，
綜上所述，
f（x）_min=

a+ 3 4 ，a≥ 1 2 a2+1，- 1 2 ＜a＜ 1 2 3 4 -a，a≤- 1 2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了絕對(duì)值函數(shù)轉(zhuǎn)化為分段函數(shù)求最小值的求法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．