某個實心零部件的形狀是如下圖所示的幾何體,其下部是底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形的四棱臺,上部是一個底面與四棱臺的上底面重合,側(cè)面是全等的矩形的四棱柱.
(1)證明:直線平面;
(2)現(xiàn)需要對該零部件表面進行防腐處理.已知,,,(單位:),每平方厘米的加工處理費為元,需加工處理費多少元?
(1)詳見解析;(2)所需加工處理費為元.
解析試題分析:(1)先證,再證平面,從而得到平面,在證明平面的過程中,利用四邊形為正方形得到,再由直棱柱的性質(zhì)得到平面,從而得到,再利用直線與平面垂直的判定定理得到平面;(2)先計算該幾何體的表面積,然后利用單價乘以表面積便可以得到加工處理費.
試題解析:(1)因為四棱柱ABCD-A2B2C2D2的側(cè)面是全等的矩形,
所以AA2⊥AB,AA2⊥AD,又因為AB∩AD=A,所以AA2⊥平面ABCD.
連接BD,因為BD?平面ABCD,所以AA2⊥BD.
因為底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD.
根據(jù)棱臺的定義可知,BD與B1D1共面.
又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,
平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥BD.于是
由AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1,
又因為AA2∩AC=A,所以B1D1⊥平面ACC2A2.
(2)因為四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,側(cè)面是全等的矩形,
所以S1=S四棱柱上底面+S四棱柱側(cè)面=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).
又因為四棱臺A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,側(cè)面是全等的等腰梯形.
所以S2=S四棱臺下底面+S四棱臺側(cè)面
=(A1B1)2+4×(AB+A1B1)h等腰梯形的高
=202+4×(10+20)
=1120(cm2).
于是該實心零部件的表面積為S=S1+S2=1300+1120=2420(cm2),
故所需加工處理費為0.2S=0.2×2420=484(元).
考點:1.直線與平面垂直;2.空間幾何體的表面積
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知一個四棱錐P-ABCD的三視圖(正視圖與側(cè)視圖為直角三角形,俯視圖是帶有一條對角線的正方形)如圖,E是側(cè)棱PC的中點.
(1)求四棱錐P-ABCD的體積;
(2)求證:平面APC⊥平面BDE.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知直三棱柱的三視圖如圖所示,且是的中點.
(Ⅰ)求證:∥平面;
(Ⅱ)求二面角的余弦值;
(Ⅲ)試問線段上是否存在點,使與成 角?若存在,確定點位置,若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知梯形中,,,、分別是、上的點,,.沿將梯形翻折,使平面⊥平面(如圖).是的中點.
(1)當時,求證:⊥ ;
(2)當變化時,求三棱錐體積的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,是以為直徑的半圓上異于點的點,矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面,且
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個交點為,
①求證://;
②若,求三棱錐E-ADF的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,斜三棱柱中,側(cè)面底面ABC,底面ABC是邊長為2的等邊三角形,側(cè)面是菱形,,E、F分別是、AB的中點.
求證:(1);
(2)求三棱錐的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1中,AB//CD,AD⊥AB,AB=2,AD=,AA1=3,E為CD上一點,DE=1,EC=3
(1)證明:BE⊥平面BB1C1C;
(2)求點到平面EA1C1的距離.
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