已知圓M:(x-1)2+y2=9,直線l:y=x-m
(1)當直線l與圓M相切時,求m的值.
(2)當直線l與圓M相交于P,Q兩點,且|PQ|=2
7
,求直線l在y軸上的截距.
(3)當直線l與圓M相交于P,Q兩點,若在x軸上存在一點R,恰好以PQ為直徑的圓過R點,求m的取值范圍.
分析:(1)圓M:(x-1)2+y2=9的圓心M(1,0),半徑為r=3,x-y-m=0,由直線l與圓M相切,能求出m的值.
(2)設(shè)圓心M到直線l的距離為d,則d=
r2-(
|PQ|
2
)
2
=
9-7
=
2
,由點到直線的距離公式能求出直線l在y軸上的截距.
(3)設(shè)點P、Q的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),R(x0,0),因為以PQ為直徑的圓過R點,所以RP⊥RQ,得(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=0,故2x1x2-(x1+x2)(x0+m)+x02+m2=0,由
y=x-m
(x-1)2+y2=9
?2x2-2(m+1)x+m2-8=0
,再利用韋達定理和根與系數(shù)的關(guān)系進行求解.
解答:解:(1)圓M:(x-1)2+y2=9的圓心M(1,0),半徑為r=3
又y=x-m,∴x-y-m=0,
∵直線l與圓M相切,
|1-m|
2
=3
,∴m=1±3
2

(2)設(shè)圓心M到直線l的距離為d,則d=
r2-(
|PQ|
2
)
2
=
9-7
=
2

|1-m|
2
=
2
,∴m=3,或m=-1,
所以直線l在y軸上的截距為-3或1
(3)設(shè)點P、Q的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),,R(x0,0),
因為以PQ為直徑的圓過R點∴RP⊥RQ,
kRPkRQ=-1,即
y1y2
(x1-x0)(x2-x0)
=-1
?(x1-x0)(x2-x0)+y1y2=0?(x1-x0)(x2-x0)+(x1-m)(x2-m)=0?2x1x2-(x1+x2)(x0+m)+x02+m2=0(1)
y=x-m
(x-1)2+y2=9
?2x2-2(m+1)x+m2-8=0

所以x1+x2=m+1,x1x2=
m2-8
2
(2)
,
△=4(m+1)2-8(m2-8)>0?-3<m<5
將(2)代入(1)整理得x02-(m+1)x0+m2-m-8=0
所以x0=(m+1)2-4(m2-m-8)≥0?1-2
3
≤m≤1+2
3

適合-3<m<5,
所以1-2
3
≤m≤1+2
3
點評:本題考查圓的性質(zhì)和應用,解題時要認真審題,仔細解答,注意根與系數(shù)的關(guān)系的靈活運用.
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(Ⅰ)求C的方程;
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3
,求直線l的方程.

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x2
4
+
y2
3
=1
x2
4
+
y2
3
=1

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[1,5]
[1,5]

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[1-3
3
,1+3
3
]
[1-3
3
,1+3
3
]

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