如圖，已知平行六面體ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.

（1）證明：C1C⊥BD；

（2）假定CD=2，CC1=，記面C1BD為α，面CBD為β，求二面角α—BD—β的平面角的余弦值；

（3）當(dāng)的值為多少時，能使A1C⊥平面C1BD？請給出證明.

 

答案：
解析：

（1）證明：設(shè)=a，=b，=c，則|a|=|b|，∵=b－a，

∴·=（b－a）·c=b·c－a·c=|b|·|c|cos60°－|a|·|c|cos60°=0，

∴C1C⊥BD.

（2）解：連AC、BD，設(shè)AC∩BD=O，連OC1，則∠C1OC為二面角α—BD—β的平面角.

∵（a+b），（a+b）－c

∴·（a+b）·［（a+b）－c］

=（a2+2a·b+b2）－a·c－b·c

=（4+2·2·2cos60°+4）－·2·cos60°－·2·cos60°=.

則||=，||=，∴cosC1OC=

（3）解：設(shè)=x，CD=2， 則CC1=.

∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C

∴只須求滿足：=0即可.

設(shè)=a，=b，=c，

∵=a+b+c，=a－c，

∴=（a+b+c）（a－c）=a2+a·b－b·c－c2=－6，令6－=0，得x=1或x=－（舍去）.

 


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體OABC-O1A1B1C1，點G是上底面O1A1B1C1的中心，且
OA
=
a
，
OC
=
b
，
OO1
=
c
，則用
a
，
b
，
c
表示向量
OG
為（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABC-A1B1C1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面中心，且A1在底面ABCD上的射影為O．
（1）求證：平面O1DC⊥平面ABCD；
（2）若點E、F分別在棱AA1、BC上，且AE=2EA1，問F在何處時，EF⊥AD？
（3）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B的正切值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1（底面是平行四邊形的四棱柱）
①求證：平面AB1D1∥平面BDC1；
②若平行六面體ABCD-A1B1C1D1各棱長相等且AB⊥平面BCC1B1，E為CD的中點，AC1∩BD1=0，求證：OE⊥平面ABC1D1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面為正方形，O1，O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD上的射影是O．
（1）求證：面O1DC⊥面ABCD；
（2）若∠A1AB=60°，求二面角C-AA1-B大小；
（3）若點E，F(xiàn)分別在棱AA1，BC上，且AE=2EA1，問點F在何處時，EF⊥AD．

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