Question

閱讀下面給出的定義與定理：
①定義：對于給定數列{x_n}，如果存在實常數p、q，使得x_n+1=px_n+q 對于任意n∈N₊都成立，我們稱數列{x_n}是“線性數列”．
②定理：“若線性數列{x_n}滿足關系x_n+1=px_n+q，其中p、q為常數，且p≠1，p≠0，則數列{xn-

q

1-p

}是以p為公比的等比數列．”
（Ⅰ）如果a_n=2n，b_n=3•2ⁿ，n∈N₊，利用定義判斷數列{a_n}、{b_n}是否為“線性數列”？若是，分別指出它們對應的實常數p、q；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）如果數列{c_n}的前n項和為S_n，且對于任意的n∈N^*，都有S_n=2c_n-3n，
①利用定義證明：數列{c_n}為“線性數列”；
②應用定理，求數列{c_n}的通項公式；
③求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用“線性數列”的定義逐個判斷即可；
（Ⅱ）①n≥2時，S_n+1=2c_n+1-3（n+1），S_n=2c_n-3n，兩式相減可得遞推式，根據遞推式借助“線性數列”的定義可作出判斷；②按照定理可判斷{c_n+3}是公比為2的等比數列，易求c_n+3，從而可求c_n；③利用分組求和可求得S_n．

解答：解：（I）∵a_n=2n，∴a_n+1=a_n+2，n∈N^*，
故數列{a_n}是“線性數列”，對應的實常數p、q分別為1，2．
∵b_n=3•2ⁿ，∴b_n+1=2b_n，n∈N^*，
故數列{b_n}是“線性數列”，對應的實常數p、q分別為2，0；
（II）①令n=1，則S₁=2c₁-3．∴c₁=3，
又n≥2時，S_n+1=2c_n+1-3（n+1），S_n=2c_n-3n，兩式相減得，c_n+1=2c_n+1-2c_n-3，
則c_n+1=2c_n+3，n=1時也成立，
∴c_n+1=2c_n+3，
故數列{c_n}為“線性數列”，對應的實常數p、q分別為2，3；
②按照定理：p=2，q=3，∴

q

1-p

=-3，
∴{c_n+3}是公比為2的等比數列，
則c_n+3=（c₁+3）•2^n-1=6•2^n-1，
∴c_n=6•2^n-1-3．
③由②得，S_n=6（1+2+2²+…+2^n-1）-3n
=6×

1-2n

1-2

-3n=6（2ⁿ-1）-3n=6•2ⁿ-3n-6，
故S_n=6•2ⁿ-3n-6．

點評：本題考查數列求和、由數列遞推式求數列通項，考查新定義，考查學生解決問題的能力，本題要認真審題，準確理解題意．