Question

已知函數(shù)f（x）=x²+mx+nlnx（x＞0，實數(shù)m，n為常數(shù)）．
（1）若n+3m²=0（m＞0），且函數(shù)f（x）在x∈[1，+∞）上的最小值為0，求m的值；
（2）若對于任意的實數(shù)a∈[1，2]，b-a=1，函數(shù)f（x）在區(qū)間（a，b）上總是減函數(shù)，對每個給定的n，求m的最大值h（n）．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)，求函數(shù)在已知區(qū)間上的極值，注意極值點是否在定義域內(nèi)，進行分類討論，確定最值；（2）函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)小于等于0恒成立，再轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題．

解答：解：（1）當n+3m²=0時，f（x）=x²+mx-3m²lnx．
則f′(x)=2x+m-

3m2

x

=

2x2+mx-3m2

x

=

(2x+3m)(x-m)

x

．
令f′（x）=0，得x=-

3m

2

（舍），x=m．（3分）
①當m＞1時，

∴當x=m時，f_min（x）=2m²-3m²lnm．
令2m²-3m²lnm=0，得m=e

2

3

．（5分）
②當0＜m≤1時，f′（x）≥0在x∈[1，+∞）上恒成立，
f（x）在x∈[1，+∞）上為增函數(shù)，當x=1時，f_min（x）=1+m．
令m+1=0，得m=-1（舍）．綜上所述，所求m為m=e

2

3

．（7分）
（2）∵對于任意的實數(shù)a∈[1，2]，b-a=1，
f（x）在區(qū)間（a，b）上總是減函數(shù)，則對于x∈（1，3），
f′(x)=2x+m+

n

x

=

2x2+mx+n

x

＜0，
∴f′（x）≤0在區(qū)間[1，3]上恒成立．（9分）
設(shè)g（x）=2x²+mx+n，∵x＞0，
∴g（x）≤0在區(qū)間[1，3]上恒成立．
由g（x）二次項系數(shù)為正，得

g(1)≤0 g(3)≤0

即

m+n+2≤0 3m+n+18≤0

亦即

m≤-n-2 m≤- n 3 -6.

（12分）
∵（-n-2）-(-

n

3

-6)=4-

2n

3

=-

2

3

(n-6)，
∴當n＜6時，m≤-

n

3

-6，當n≥6時，m≤-n-2，（14分）
∴當n＜6時，h（n）=-

n

3

-6，
當n≥6時，h（n）=-n-2，即h(n)=

- n 3 -6，n＜6 -n-2，n≥6.

（16分）

點評：（1）利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值問題，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，是難點；（2）題意的理解與轉(zhuǎn)化是難點，在解答此題中用到了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．