Question

已知函數(shù)f（x）=．
（1）當(dāng)x∈[-2，2]時(shí)，求使f（x）＜a恒成立的a的取值范圍；
（2）若方程x²-2ax-1=0的兩根為α，β，證明：函數(shù)f（x）在[α，β]上是單調(diào)函數(shù)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由f（x）＜a得，分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可，由g（x）的符號變化規(guī)律可知只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，利用單調(diào)性可求；
（2）定義法：設(shè)α≤x₁＜x₂≤β，則，兩式相加可得，利用作差法可證明f（x₂）＞f（x₁）；
解答：解：（1）由f（x）＜a得，即4x-4a＜ax²+4a，
∴時(shí)恒成立．      
設(shè)，
由于x=0時(shí)，g（x）=0；x∈[-2，0）時(shí)，g（x）＜0；x∈（0，2]時(shí)，g（x）＞0，
故求函數(shù)在x∈[-2，2]上的最大值，只需求g（x）在x∈（0，2]的最大值，
由，可證明在x∈（0，2]上是減函數(shù)，
當(dāng)x=2時(shí)y=x+取得最小值，g（x）取得最大值為，
∴．           
（2）設(shè)α≤x₁＜x₂≤β，則，
∴，
則，
又a（x₁+x₂）-x₁x₂+4＞a（x₁+x₂）-x₁x₂+1＞0，
∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₂）＞f（x₁），
故f（x）在區(qū)間[α，β]上是增函數(shù)．
點(diǎn)評：本題考查函數(shù)恒成立問題、單調(diào)性的判斷，考查轉(zhuǎn)化思想，單調(diào)性的證明應(yīng)嚴(yán)格論證，方法有定義法、導(dǎo)數(shù)法．