Question

在經(jīng)濟(jì)學(xué)中，函數(shù)f（x）的邊際函數(shù)Mf（x）定義為Mf（x）=f（x+1）-f（x），某公司每月生產(chǎn)x臺(tái)某種產(chǎn)品的收入為R（x）元，成本為C（x）元，且R（x）=3000x-20x²，C（x）=600x+4000（x∈N^*），現(xiàn)已知該公司每月生產(chǎn)該產(chǎn)品不超過(guò)100臺(tái)，（利潤(rùn)=收入-成本）
（1）求利潤(rùn)函數(shù)P（x）以及它的邊際利潤(rùn)函數(shù)MP（x）；
（2）求利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差．

Answer 1

分析：（1）利用題意可得P（x）=R（x）-C（x）計(jì)算出即可．MP（x）=P（x+1）-P（x）．x∈[1，100]，x∈N^*．
（2）P（x）=-20（x-60）²+68000，x∈[1，100]，x∈N^*．利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出P（x）最大值．由于MP（x）=2380-40x在x∈[1，100]，x∈N^*．是減函數(shù)，即可得出x=1時(shí)MP（x）取得最大值．故可得利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差．

解答：解：（1）利用題意可得P（x）=R（x）-C（x）=（3000x-20x²）-（600x+4000）=-20x²+2400x-4000，
∴MP（x）=P（x+1）-P（x）=[-20（x+1）²+2400（x+1）-4000]-（-20x²+2400x-4000）=2380-40x．x∈[1，100]，x∈N^*．
（2）P（x）=-20（x-60）²+68000，x∈[1，100]，x∈N^*．
當(dāng)x=60時(shí)，P（x）取得最大值68000元．
∵M(jìn)P（x）=2380-40x在x∈[1，100]，x∈N^*．是減函數(shù)，
∴當(dāng)x=1時(shí)，MP（x）取得最大值2380-40=2340．
故利潤(rùn)函數(shù)的最大值與邊際利潤(rùn)函數(shù)的最大值之差是65660元．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了“利潤(rùn)=收入-成本”、邊際函數(shù)的意義、二次函數(shù)和一次函數(shù)的單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于中檔題．