![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d617eb0e034.png)
證明:(Ⅰ)∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,∴BB
1⊥平面ABC.
又∵CF?平面ABC,
∴CF⊥BB
1.
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,F(xiàn)是AB中點,
∴CF⊥AB.
又∵BB
1∩AB=B,
∴CF⊥平面ABB
1.
(Ⅱ)取AB
1的中點G,連接EG,F(xiàn)G.
∵F、G分別是棱AB、AB
1中點,
∴FG∥BB
1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/247820.png)
BB
1.
又∵EC∥BB
1,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/101571.png)
,
∴FG∥EC,F(xiàn)G=EC.
∴四邊形FGEC是平行四邊形,
∴CF∥EG.
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/upload/201305/51d617eb32b05.png)
又∵CF?平面AEB
1,EG?平面AEB
1,
∴CF∥平面AEB
1.(9分)
(3)解:以C為坐標原點,射線CA,CB,CC
1為x,y,z軸正半軸,
建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz
則C(0,0,0),A(2,0,0),B
1(0,2,4)(10分)
設E(0,0,m),平面AEB
1的法向量
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
=(x,y,z)
則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8550.png)
=(-2,2,4),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/220.png)
=(-2,0,m)
且
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/8550.png)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/220.png)
⊥
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
,
于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363766.png)
,即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363767.png)
取z=2,則
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/686.png)
=(m,m-4,2)(12分)
∵三棱柱ABC-A
1B
1C
1是直棱柱,
∴BB
1⊥平面ABC,
又∵AC?平面ABC
∴AC⊥BB
1∵∠ACB=90°,
∴AC⊥BC
∴AC⊥平面ECBB
1∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/4022.png)
=(2,0,0)是平面EBB
1的法向量,
二面角A-EB
1-B的大小是45°,
則cos45°=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/54.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363768.png)
=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/363769.png)
(13分)
解得m=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
∴在棱CC
1上存在點E,使得二面角A-EB
1-B的大小是45°.
此時CE=
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/259.png)
(14分)
分析:(Ⅰ)欲證CF⊥平面ABB
1,根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可知只需證CF垂直平面ABB
1內(nèi)兩相交直線垂直,而CF⊥BB
1,CF⊥AB,BB
1∩AB=B,滿足定理條件;
(Ⅱ)取AB
1的中點G,連接EG,F(xiàn)G,欲證CF∥平面AEB
1,根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證CF與平面AEB
1內(nèi)一直線平行即可,而CF∥EG,CF?平面AEB
1,EG?平面AEB
1,滿足定理條件.EB
1-B
(III)以C為坐標原點,射線CA,CB,CC
1為x,y,z軸正半軸,建立空間直角坐標系C-xyz,設出E點坐標,分別求出平面AEB
1與EB
1B的法向量,根據(jù)二面角A-EB
1-B的大小是45°,代入向量夾角公式,構造方程即可得到答案.
點評:本小題主要考查直線與平面平行的判定,以及直線與平面垂直的判定,考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力,屬于基礎題.