已知A(2，8)、B(x1，y1)、C(x2，y2)三點在拋物線y2＝2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合．

(1)寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；

(2)求線段BC中點M的坐標；

(3)求BC所在直線的方程．

答案：
解析：

　　解：(1)∵A(2，8)在拋物線y2＝2px上，

　　∴82＝2p·2．∴2p＝32，p＝16．

　　∴拋物線方程為y2＝32x，焦點F的坐標是F(8，0)．

　　(2)設(shè)線段BC中點M(x0，y0)，則x0＝，y0＝，

　　由F為△ABC的重心可知，

　　∴

　　∴即所求線段BC中點M的坐標為(11，－4)．

　　(3)法一：由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在直線不垂直于x軸，設(shè)BC所在直線方程為y＋4＝k(x－11)(k≠0)．

　　由得ky2－32y－32(11k＋4)＝0，

　　∴y1＋y2＝．由(2)知，＝y(tǒng)0＝－4，

　　∴＝－8．∴k＝－4，

　　因此BC所在直線的方程為y＋4＝－4(x－11)，即4x＋y－40＝0．

　　法二：由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在直線不垂直于x軸，設(shè)BC所在直線的斜率為k，

　　則k＝．

　　由(2)知y1＋y2＝2y0＝－8，∴k＝－4．

　　因此，BC所在直線的方程為y＋4＝－4(x－11)，

　　即4x＋y－40＝0．


提示：

本題考查拋物線的標準方程與幾何性質(zhì)，直線與曲線的交點以及直線方程等知識．用點坐標代入求出拋物線方程，再由中點坐標公式、三角形重心坐標公式及韋達定理等知識求解本題．


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△ABC中，已知A(2，3)，B(8，－4)，重心G(2，－1)則C點坐標為   （     ）

A．(－4，2)　　　　　　　　 B．(－4，－2)

C．(4，－2)　　　　　　　　 D．(4，2)

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在△ABC中，已知A(2，3)、B(8，－4)，G(2，－1)是中線AD上的一點，且＝，則點C的坐標為

[　　]
A．

(－4，2)

B．

(－4，－2)

C．

(4，－2)

D．

(4，2)

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在△ABC中，已知A(2，3)、B(8，-4)，G(2，-1)是中線AD上的一點，且||=2||，則點C的坐標為(    )

A.(-4，2)            B.(-4，-2)           C.(4，-2)         D.(4，2)

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