Question

已知函數(shù)f（x）＝（x2＋a）的圖象在點Pn（n，f（n））（n∈N*）處的切線ln的斜率為kn，直線ln交x軸，y軸分別于點An（xn，0），Bn（0，yn），且y1＝－1．給出以下結(jié)論：

①a＝－1；

②記函數(shù)g（n）＝xn（n∈N*），則函數(shù)g（n）的單調(diào)性是先減后增，且最小值為；

③當n∈N*時，；

④當n∈N*時，記數(shù)列的前項和為，則．

其中，正確的結(jié)論有 （寫出所有正確結(jié)論的序號）

Answer 1

①③④

【解析】由已知，f '（x）＝x，于是kn＝n，且f（n）＝（n2＋a），

所以ln：y－（n2＋a）＝n（x－n）

①在ln中，令n＝1，x＝0，y＝－1，得a＝－1，故①正確；

且有l(wèi)n：y－（n2－1）＝n（x－n）

②在ln中，令y＝0，得xn＝－（n－）＋n＝（n＋）

n∈N*時，該函數(shù)為增函數(shù)，沒有遞減部分，故②錯誤；

③在ln中，令x＝0，得yn＝－n2＋（n2－1）＝－（n2＋1）

∴yn＋kn＋＝－n2＋n

當n＝1時，y1＋k1＋＝＝ln＜ln2＝ln（1＋1）＝ln（1＋k1）

當n≥2時，yn＋kn＋＝－n2＋n≤0，而ln（1＋kn）＝ln（1＋n）＞ln1＝0，故③正確

，

∴Sn＜

當n＞1時，

∴Sn＜

＝，故④正確.

考點：函數(shù)、導數(shù)、數(shù)列、不等式等綜合應用