Question

已知f（x）=-x²+a（5-a）x+b．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為（-1，7）時(shí)，求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)a∈[-1，2）時(shí)，f（3）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)不等式f（x）＞0的解集為（-1，7），建立條件關(guān)系，即可求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值恒成立即可．

解答： 解：（1）∵不等式f（x）＞0的解集為（-1，7），
∴-1，7是方程-x²+a（5-a）x+b=0的兩根．
∴

a(5-a)=6 b=7

，
∴

a=2 b=7

或

a=3 b=7

．
（2）∵當(dāng)a∈[-1，2）時(shí)，f（3）＜0恒成立，
∴f（3）=-9+a（5-a）•3+b=-3a²+15a-9+b＜0，a∈[-1，2）恒成立
即b＜3a²-15a+9，a∈[-1，2）恒成立； 
設(shè)g(a)=3a2-15a+9=3(a-

5

2

)2-

39

4

，
函數(shù)g（a）對稱軸為a=

5

2

，
當(dāng)a∈[-1，2）時(shí)，g（a）是減函數(shù)，
∴g（a）＞g（2）=-9，
∴b≤-9，
∴實(shí)數(shù)b的取值范圍是（-∞，-9]．

點(diǎn)評：本題主要考查一元二次不等式的解法，以及不等式恒成立問題，將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．