選修4-2：矩陣與變換
設(shè)矩陣M=
1a
b1
．
（I）若a=2，b=3，求矩陣M的逆矩陣M-1；
（Ⅱ）若曲線(xiàn)C：x2+4xy+2y2=1在矩陣M的作用下變換成曲線(xiàn)C'：x2-2y2=1，求a+b的值．
分析：（I）先求矩陣M的行列式，進(jìn)而可求其逆矩陣；
（II）設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換作用下得到點(diǎn)P'（x'，y'），則
1a
b1
x 
y 
=
x′ 
y′ 
，由此能求出a，b的值．
解答：解：（I）若a=2，b=3，則M=
12
31
，∴|M|=
.
12
31
.
=-5
故所求的逆矩陣M-1=
-
1
5
2
5
3
5
-
1
5
．…（4分）
（II）設(shè)曲線(xiàn)C上任意一點(diǎn)P（x，y），它在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線(xiàn)性變換作用下得到點(diǎn)P'（x'，y'），
則
1a
b1
x 
y 
=
x′ 
y′ 
，
即
x+ay=x′
bx+y=y′
，…（5分）
又點(diǎn)P'（x'，y'）在曲線(xiàn)C'上，所以x'2-2y'2=1，則（x+ay）2-2（bx+y）2=1，
即（1-2b2）x2+（2a-4b）xy+（a2-2）y2=1為曲線(xiàn)C的方程，
又已知曲線(xiàn)C的方程為x2+4xy+2y2=1，
比較系數(shù)可得
1-2b2=1
2a-4b=4
a2-2=2
，解得b=0，a=2，
∴a+b=2．…（7分）
點(diǎn)評(píng)：本題以矩陣為載體，考查矩陣的逆矩陣，考查矩陣變換的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為e1=
1
0
和e2=
0
1
．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線(xiàn)x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線(xiàn)方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為
x=2sinθ
y=cosθ
(θ為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為
x=2t
y=t+1
(t為參數(shù)）
（I）若將曲線(xiàn)C1與C2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線(xiàn)C′1和C′2，求出曲線(xiàn)C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)極點(diǎn)且與C′2垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若g(x)=
1
f(x)+m
的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿(mǎn)分14分
（1）選修4-2：矩陣與變換
變換T是將平面上每個(gè)點(diǎn)M（x，y）的橫坐標(biāo)乘2，縱坐標(biāo)乘4，變到點(diǎn)M′（2x，4y）．
（Ⅰ）求變換T的矩陣；
（Ⅱ）圓C：x2+y2=1在變換T的作用下變成了什么圖形？
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線(xiàn)C1的極坐標(biāo)方程為：5ρ2-3ρ2cos2θ-8=0，直線(xiàn)?的參數(shù)方程為：
x=1-
3
t
y=t
（t為參數(shù)）．
（Ⅰ）求曲線(xiàn)C1的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）直線(xiàn)?上有一定點(diǎn)P（1，0），曲線(xiàn)C1與?交于M，N兩點(diǎn)，求|PM|．|PN|的值．
（3）選修4-5：不等式選講
已知a，b，c為實(shí)數(shù)，且a+b+c+2-2m=0，a2+
1
4
b2+
1
9
c2+m-1=0．
（Ⅰ）求證：a2+
1
4
b2+
1
9
c2≥
(a+b+c)2
14
；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年福建省高三第八次月考理科數(shù)學(xué)試卷 題型：解答題

本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題做答，滿(mǎn)分14分

（1）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-2：矩陣與變換

變換是將平面上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘，縱坐標(biāo)乘，變到點(diǎn).

（Ⅰ）求變換的矩陣；

（Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？

（2）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為：，直線(xiàn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線(xiàn)上有一定點(diǎn)，曲線(xiàn)與交于M，N兩點(diǎn)，求的值．

（3）（本小題滿(mǎn)分7分）選修4-5：不等式選講

 已知為實(shí)數(shù)，且

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2012-2013學(xué)年福建省福州三中高三（上）期中數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：解答題

（1）選修4-2：矩陣與變換
若矩陣A有特征值λ1=2，λ2=-1，它們所對(duì)應(yīng)的特征向量分別為．
（I）求矩陣A；
（II）求曲線(xiàn)x2+y2=1在矩陣A的變換下得到的新曲線(xiàn)方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知曲線(xiàn)C1的參數(shù)方程為為參數(shù)），C2的參數(shù)方程為為參數(shù)）
（I）若將曲線(xiàn)C1與C2上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)都縮短為原來(lái)的一半（縱坐標(biāo)不變），分別得到曲線(xiàn)C′1和C′2，求出曲線(xiàn)C′1和C′2的普通方程；
（II）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)極點(diǎn)且與C′2垂直的直線(xiàn)的極坐標(biāo)方程．
（3）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，
（I）求關(guān)于x的不等式f（x）≤5的解集；
（II）若的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：福建省龍巖一中2011-2012學(xué)年高三下學(xué)期第八次月考試卷數(shù)學(xué)（理） 題型：解答題

 本題設(shè)有（1）、（2）、（3）三個(gè)選考題，每題7分，請(qǐng)考生任選2題做答，滿(mǎn)分14分

（1）選修4-2：矩陣與變換

變換是將平面上每個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)乘，縱坐標(biāo)乘，變到點(diǎn).

（Ⅰ）求變換的矩陣；

（Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？

（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

已知極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸與x軸的正半軸重合．若曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程為：，直線(xiàn)的參數(shù)方程為：（為參數(shù)）.

（Ⅰ）求曲線(xiàn)的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）直線(xiàn)上有一定點(diǎn)，曲線(xiàn)與交于M，N兩點(diǎn)，求的值．

（3）選修4-5：不等式選講

 已知為實(shí)數(shù)，且

（Ⅰ）求證：

（Ⅱ）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

 

 

 

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