已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=
k
2
x2+x+1.
(1)當k=1時,證明:f(x)≥g(x)-
x2
2
;
(2)若f(x)≥g(x),求k的取值范圍.
考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的綜合運用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析:(1)設h(x)=f(x)-g(x)+
x2
2
=ex-x-1,求導數(shù),確定x∈(0,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增,即可證明結(jié)論;
(2)求導數(shù),設G(x)=ex-kx-1,則G′(x)=ex-k,分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求k的取值范圍.
解答: (1)證明:當k=1時,設h(x)=f(x)-g(x)+
x2
2
=ex-x-1,h′(x)=ex-1.…(1分)
當x∈(-∞,0)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(0,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以h(x)≥h(0)=0.
故f(x)≥g(x)-
x2
2
.…(4分)
(2)解:設F(x)=f(x)-g(x)=ex-
k
2
x2-x-1,則F′(x)=ex-kx-1.
設G(x)=ex-kx-1,則G′(x)=ex-k.…(6分)
①若k≤0時,則G′(x)>0,G(x)單調(diào)遞增,
當x∈(-∞,0)時,G(x)<G(0)=0,即F′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減;
當x∈(0,+∞)時,G(x)>G(0)=0,即F′(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增.
故F(x)≥F(0)=0,此時f(x)≥g(x).…(9分)
②若k>0,則
當x∈(-∞,-
2
k
)時,ex-1<0,-
k
2
x2-x=-
1
2
x(kx+2)<0,
從而F(x)=ex-1-
k
2
x2-x<0,這時f(x)≥g(x)不成立.…(11分)
綜上,k的取值范圍是(-∞,0].…(12分)
點評:本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

若A={x∈N*|x<25},B={y|y=
x
,x∈A},則A∩B=(  )
A、{0,1,2,3,4}
B、{2,3,4,5}
C、{0,2,3,4}
D、{1,2,3,4}

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=|log3x|,正實數(shù)m,n滿足m<n,且f(m)=f(n),若f(x)在區(qū)間[m,n2]上的最大值為2,則m+n=( 。
A、
82
9
B、
28
9
C、
28
3
D、
10
3

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù),且2a1+3a2=1,a32=9a2a6,設bn=log
1
3
an,n∈N*
(Ⅰ)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(Ⅱ)設{bn}的前n項和為Sn,求數(shù)列{
1
Sn
}(n∈N*)的前n項和Tn

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

設全集為R,A={x|x>-1},B={x|x≤5},求:
(1)A∩B;  (2)A∪B;  (3)CRA、CRB; (4)(CRA)∩(CRB);(5)(CRA)∪(CRB).

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

如圖,動圓D過定點A(0,2),圓心D在拋物線x2=4y上運動,MN為圓D在x軸上截得的弦,當圓心D運動時,記|AM|=m,|AN|=n.
(Ⅰ)求證:|MN|為定值;
(Ⅱ)求
n
m
+
m
n
的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=xk+b(常數(shù)k,b∈R)的圖象過點(4,2)、(16,4)兩點.
(1)求f(x)的解析式;
(2)問:是否存在邊長為4正三角形△PQ1Q2,使點P在函數(shù)f(x)圖象上,Q1、Q2從左至右是x正半軸上的兩點?若存在,求直線PQ2的方程,若不存在,說明理由;
(3)若函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱,且不等式g(x)+g(x-2)>2ax+2恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知向量
.
a
=(cos
B
2
,
1
2
)與向量
.
b
=(
1
2
,cos
B
2
)共線,其中A、B、C是△ABC的內(nèi)角.
(Ⅰ)求角B的大小
(Ⅱ)若cosC=
3
5
,求cosA的值.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC,|AA1|=|BC|=1,|AC|=
2
,點M是BB1的中點,Q是AB的中點.
(1)若P是A1C1上的一動點,求證:PQ⊥CM;
(2)求二面角A-A1B-C大小的余弦值.

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