考點:利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)與方程的綜合運用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性
專題:綜合題,導數(shù)的綜合應用
分析:(1)設h(x)=f(x)-g(x)+
=e
x-x-1,求導數(shù),確定x∈(0,+∞)時,h(x)單調(diào)遞增,即可證明結(jié)論;
(2)求導數(shù),設G(x)=e
x-kx-1,則G′(x)=e
x-k,分類討論,確定函數(shù)的單調(diào)性,即可求k的取值范圍.
解答:
(1)證明:當k=1時,設h(x)=f(x)-g(x)+
=e
x-x-1,h′(x)=e
x-1.…(1分)
當x∈(-∞,0)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;
當x∈(0,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增.
所以h(x)≥h(0)=0.
故f(x)≥g(x)-
.…(4分)
(2)解:設F(x)=f(x)-g(x)=e
x-
x
2-x-1,則F′(x)=e
x-kx-1.
設G(x)=e
x-kx-1,則G′(x)=e
x-k.…(6分)
①若k≤0時,則G′(x)>0,G(x)單調(diào)遞增,
當x∈(-∞,0)時,G(x)<G(0)=0,即F′(x)<0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞減;
當x∈(0,+∞)時,G(x)>G(0)=0,即F′(x)>0,F(xiàn)(x)單調(diào)遞增.
故F(x)≥F(0)=0,此時f(x)≥g(x).…(9分)
②若k>0,則
當x∈(-∞,-
)時,e
x-1<0,-
x
2-x=-
x(kx+2)<0,
從而F(x)=e
x-1-
x
2-x<0,這時f(x)≥g(x)不成立.…(11分)
綜上,k的取值范圍是(-∞,0].…(12分)
點評:本題考查利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查分類討論的數(shù)學思想,屬于中檔題.