無窮等比數(shù)列{an}中,公比為q,且所有項的和為,則a1的范圍是   
【答案】分析:根據(jù)數(shù)列為無窮等比數(shù)列,且所有項的和為,得到極限存在,即公比q大于等于-1小于等于1,且不為0,當(dāng)官公比q等于1時,數(shù)列為常數(shù)列,利用首項a1表示出數(shù)列的前n項的和,解出a1,當(dāng)n趨于無窮大時a1趨于0,得到a1大于0,當(dāng)q大于等于-1小于1時,利用等比數(shù)列的前n項和公式表示出sn,當(dāng)n趨于無窮大時,qn趨于0,得到sn==,解出a1,根據(jù)當(dāng)q=-1時,a1取得最大值,即可解出a1的取值范圍,同時因為公比q不為0,得到a1不等于,綜上,寫出a1的取值范圍即可.
解答:解:因為數(shù)列{an}為無窮等比數(shù)列,且其所有項的和為,即其極限存在,
故可知|q|≤1且q≠0,即-1≤q≤1且q≠0,
當(dāng)q=1時,無窮等比數(shù)列{an}為常數(shù)列,設(shè)sn為其所有項之和,則sn=na1=,
即a1=,當(dāng)n→+∞時,a1→0,即a1>0;
當(dāng)-1≤q<1時,sn=,當(dāng)n→+∞時,qn→0,于是有sn==,
即a1=(1-q),當(dāng)q=-1時,a1最大,所以得到0<a1,
又q≠0,得到a1,
綜上,a1的范圍是(0,)∪().
故答案為:(0,)∪(
點評:此題考查學(xué)生靈活運用等比數(shù)列的前n項和公式化簡求值,要求學(xué)生會利用極限思想解決實際問題,是一道中檔題.學(xué)生求a1范圍的時候注意q不為0這個條件得到a1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知無窮等比數(shù)列{an}各項的和是2,則首項a1的取值范圍是
(0,2)∪(2,4)
(0,2)∪(2,4)

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