Question

已知曲線C：xy=1，過C上一點A₁（x₁，y₁）作斜率k₁的直線，交曲線C于另一點A₂（x₂，y₂），再過A₂（x₂，y₂）作斜率為k₂的直線，交曲線C于另一點A₃（x₃，y₃），…，過A_n（x_n，y_n）作斜率為k_n的直線，交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1）…，其中x₁=1，
（1）求x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（2）判斷x_n與2的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；
（3）求證：|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．

Answer 1

【答案】分析：（1）過A_n（x_n，y_n）斜率為的直線為y-y_n=（x-x_n），A_n+1在直線上，化簡即可求x_n+1與x_n的關(guān)系式；
（2）利用（1）的結(jié)論，分當(dāng)n為奇數(shù)時，判斷x_n＜2；當(dāng)n為偶數(shù)時，判斷x_n＞2，然后推理證明的結(jié)論；
（3）利用，再利用放縮法，推出|x_n-2|≤，再證明|x₁-2|+|x₂-2|+…+|x_n-2|＜2．
解答：解：（1）由已知過A_n（x_n，y_n）斜率為的直線為y-y_n=（x-x_n），
直線交曲線C于另一點A_n+1（x_n+1，y_n+1）
所以y_n+1-y_n=（x_n+1-x_n）（2分）
即=（x_n+1-x_n），x_n+1-x_n≠0，
所以（4分）
（2）解：當(dāng)n為奇數(shù)時，x_n＜2；當(dāng)n為偶數(shù)時，x_n＞2（5分）
因為，（6分）
注意到x_n＞0，所以x_n-2與x_n-1-2異號
由于x₁=1＜2，所以x₂＞2，以此類推，
當(dāng)n=2k-1（k∈N^*）時，x_n＜2；
當(dāng)n=2k（k∈N^*）時，x_n＞2（8分）
（3）由于x_n＞0，，
所以x_n≥1（n=1，2，3，）（9分）
所以≤（10分）
所以|x_n-2|≤≤≤…≤（12分）
所以|x₁-2|+|x₂+2|+…+|x_n-2|≤=（14分）
點評：本題考查直線的斜率，不等式的證明，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．