Question

已知A、B是拋物線(xiàn)y²=4x上的相異兩點(diǎn)．
（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)A且斜率為-1的直線(xiàn)l₁，與過(guò)點(diǎn)B且斜率為1的直線(xiàn)l₂相交于點(diǎn)P（4，4），求直線(xiàn)AB的斜率；
（2）問(wèn)題（1）的條件中出現(xiàn)了這樣的幾個(gè)要素：已知圓錐曲線(xiàn)Γ，過(guò)該圓錐曲線(xiàn)上的相異兩點(diǎn)A、B所作的兩條直線(xiàn)l₁、l₂相交于圓錐曲線(xiàn)Γ上一點(diǎn)；結(jié)論是關(guān)于直線(xiàn)AB的斜率的值．請(qǐng)你對(duì)問(wèn)題（1）作適當(dāng)推廣，并給予解答；
（3）若線(xiàn)段AB（不平行于y軸）的垂直平分線(xiàn)與x軸相交于點(diǎn)Q（x₀，0）．若x₀＞2，試用x₀表示線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）由解得A（16，-8）；由解得B（0，0）．
由點(diǎn)斜式寫(xiě)出兩條直線(xiàn)l₁、l₂的方程，l₁：x+y-8=0；l₂：x-y=0，所以直線(xiàn)AB的斜率為． …
（2）推廣：已知拋物線(xiàn)y²=2px上有一定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線(xiàn)l₁、l₂，分別交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線(xiàn)AB的斜率．
過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀），斜率互為相反數(shù)的直線(xiàn)可設(shè)為y=k（x-x₀）+y₀，y=k（x-x₀）+y₀，其中y₀²=2px₀．
由得ky²-2py+2py₀-ky₀²=0，所以
同理，把上式中k換成-k得，所以
當(dāng)P為原點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)AB的斜率不存在，當(dāng)P不為原點(diǎn)時(shí)直線(xiàn)AB的斜率為．
（3）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y_i²=4x_i（i=1，2）．               …
設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)是M（x_m，y_m），斜率為k，則=，…（15分）
線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)l的方程為，…
又點(diǎn)Q（x₀，0）在直線(xiàn)l上，所以，
而y_m≠0，于是x_m=x₀-2．故線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₀-2．   …
分析：（1）根據(jù)題意將直線(xiàn)l₁，直線(xiàn)l₂，分別與拋物線(xiàn)方程聯(lián)立，求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，再利用斜率公式可求斜率；
（2）推廣：已知拋物線(xiàn)y²=2px上有一定點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作斜率分別為k、-k的兩條直線(xiàn)l₁、l₂，分別交拋物線(xiàn)于A(yíng)、B兩點(diǎn)，試計(jì)算直線(xiàn)AB的斜率．再利用（1）的方法求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，從而利用斜率公式可求斜率；
（3）先求出線(xiàn)段AB（不平行于y軸）的垂直平分線(xiàn)的方程，再確定其線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，主要考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，考查斜率公式，有較強(qiáng)的綜合性