如圖,在棱長為1的正方體ABCD-A′B′CD′中,AP=BQ=b(0<b<1),截面PQEF∥A′D,截面PQGH∥AD′.
(Ⅰ)證明:平面PQEF和平面PQGH互相垂直;
(Ⅱ)證明:截面PQEF和截面PQGH面積之和是定值,并求出這個(gè)值;
(Ⅲ)若,求D′E與平面PQEF所成角的正弦值.
解法一:
(Ⅰ)證明:在正方形中,又由已知可得
所以 PH⊥PF, PH⊥PQ,
所以 PH⊥平面PQEF,
所以平面PQEF和平面PQGH垂直
(Ⅱ)證明:由(Ⅰ)知
,又截面PQEF和截面PQGH都是矩形,且PQ=1,所以截面PQEF和截面PQGH面積之和是
,是定值。
(Ⅲ)解:連結(jié)交PE于點(diǎn)N,連接EN,
因?yàn)?sub>交交PE于點(diǎn)N,連接EN,
所以為
與平面PQEF所成的角。
因?yàn)?sub>,所以,P、Q、E、F分別為
,
的中點(diǎn),
可知.
所以
解法二:
以D為原點(diǎn),射線DA,DC,DD’分別為x,y,z軸的正半軸建立如圖的空間直角坐標(biāo)系D-xyz
由已知得DF-1-b,故A(1,0,0),A(1,0,1),D(0,0,0),D(0,0,1),P(1,0,b),Q(1,1,b),E(1-b,0,0),F(1-b.0,0),G(b,1,1),H(b,0,1)
(1) 證明:在所建立的坐標(biāo)系中,可得
因?yàn)?sub>所以
是平面PQEF的法向量。
因?yàn)?sub>所以
是平面PQGH的法向量。
因?yàn)?sub>所以
,
所以平面PQEF和平面PQGH互相垂直。
(Ⅱ)證明:因?yàn)?sub>,所以
,又
,所以PQEF為矩形,同理PQGH為矩形。
在所建立的坐標(biāo)系中可求得
所以又
所以截面PQEF和截面PQGH面積之和為,是定值。
(Ⅲ)解:由(Ⅰ)知是平面PQEF的法向量。
由P為AA中點(diǎn)可知,Q、E、F分別為BB,BC,AD的中點(diǎn),
所以,因此D`E與平面PQEF所成角的正弦值等于
,
年級(jí) | 高中課程 | 年級(jí) | 初中課程 |
高一 | 高一免費(fèi)課程推薦! | 初一 | 初一免費(fèi)課程推薦! |
高二 | 高二免費(fèi)課程推薦! | 初二 | 初二免費(fèi)課程推薦! |
高三 | 高三免費(fèi)課程推薦! | 初三 | 初三免費(fèi)課程推薦! |
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2009-2010學(xué)年江蘇省南京市金陵中學(xué)高三(上)8月月考數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
查看答案和解析>>
科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2012年安徽省合肥八中高考數(shù)學(xué)一模試卷(理科)(解析版) 題型:解答題
查看答案和解析>>
百度致信 - 練習(xí)冊(cè)列表 - 試題列表
湖北省互聯(lián)網(wǎng)違法和不良信息舉報(bào)平臺(tái) | 網(wǎng)上有害信息舉報(bào)專區(qū) | 電信詐騙舉報(bào)專區(qū) | 涉歷史虛無主義有害信息舉報(bào)專區(qū) | 涉企侵權(quán)舉報(bào)專區(qū)
違法和不良信息舉報(bào)電話:027-86699610 舉報(bào)郵箱:58377363@163.com