Question

（12分）如圖已知直角梯形所在的平面垂直于平面，，， ．

（I）在直線上是否存在一點，使得平面？請證明你的結論；

(II)求平面與平面所成的銳二面角的余弦值。

 

 

Answer 1

【答案】

（I）見解析；（2）． 

【解析】（1）先確定線段的中點就是滿足條件的點．再取的中點，證明四邊形為矩形，四邊形是平行四邊形．由線面平行的判定定理證出結論；

（2）可以根據(jù)二面角的定義找出二面角的平面角求解，關鍵是找到二面角的棱，由平面平面，平面，�！�是所求二面角的平面角．在三角形中求解；也可以建立坐標系利用法向量求解。

（I）線段的中點就是滿足條件的點．

證明如下：

取的中點連結，則

，，     …………………2分

取的中點，連結，

∵且，

∴△是正三角形，∴．

∴四邊形為矩形，∴．又∵，………3分

∴且，四邊形是平行四邊形．…………4分

∴，而平面，平面，∴平面．……6分

（2）（法1）過作的平行線，過作的垂線交于，連結，∵，∴， 是平面與平面所成二面角的棱．……8分

∵平面平面，，∴平面，

又∵平面，∴平面，∴，

∴是所求二面角的平面角．………………10分

設，則，，

∴，

∴．  ………12分

（法2）∵，平面平面，

∴以點為原點，直線為軸，直線為軸，建立空間直角坐標系，則軸在平面內(nèi)（如圖）．設，由已知，得，，．

∴，，…………………8分

設平面的法向量為，

則且，

∴∴解之得

取，得平面的一個法向量為.          ………10分

又∵平面的一個法向量為． ……11分

．………12分