Question

若函數滿足下列條件：在定義域內存在使得成立，則稱函數具有性質；反之，若不存在，則稱函數不具有性質.

（1）證明：函數具有性質，并求出對應的的值；

（2）已知函數具有性質，求實數的取值范圍；

（3）試探究形如①、②、③、④、⑤的函數，指出哪些函數一定具有性質?并加以證明.

Answer 1

解：（Ⅰ）證明：代入得：……2分

即，解得

∴函數具有性質.………………………………………4分

②若,則要使有實根，只需滿足,

即，解得

∴…………………………………………8分

綜合①②,可得…………………………………9分

（Ⅲ）解法一：函數恒具有性質，即關于的方程（*）恒有解.

　　　①若，則方程（*）可化為

　　　　　整理，得

　　　　　當時，關于的方程（*）無解

∴不恒具備性質；

②若，則方程（*）可化為，

解得.

∴函數一定具備性質.

③若，則方程（*）可化為無解

　∴不具備性質；

④若，則方程（*）可化為，

化簡得

當時，方程（*）無解

　∴不恒具備性質；

⑤若，則方程（*）可化為，化簡得

　顯然方程無解

　∴不具備性質；

綜上所述，只有函數一定具備性質.……14分

解法二：函數恒具有性質，即函數與的圖象恒有公共點.由圖象分析，可知函數一定具備性質.………12分

　　下面證明之：

方程可化為，解得.

∴函數一定具備性質.……………………14分