Question

(2007重慶．19)如下圖，在直三棱柱中，，AB=1，∠ABC=90°；點D、E分別在、上，且，四棱錐C－與直三棱柱的體積之比為3∶5．

(1)求異面直線DE與的距離；

(2)若，求二面角的平面角的正切值．

Answer 1

答案：略
解析：

解析：(1)如圖，以B點為坐標(biāo)原點O建立空間直角坐標(biāo)系O－xyz，則B(0，0，0)，(0，0，2)，A(0，1，0)，(0，1，2)，則=(0，0，2)，=(0，－1，0)． 設(shè)(a，0，2)，則=(a，0，0)． 又設(shè)， 則， 從而，即． 又，所以是異面直線與DE的公垂線． 下面求點D的坐標(biāo)． 設(shè)D(0，0，z)，則=(0，0，z)． 因四棱角的體積為 ． 而直三棱柱的體積為 ． 由已知條件，故，解得，即． 從而，，， 接下來再求點E的坐標(biāo)． 由，有，即 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、� 又由，　　　　　　　　　　　　　　　�、� 聯(lián)立①②，解得，， 即，得． 故． (2)由已知，則，從而，過作，垂足為F，連接． 設(shè)，則，因為， 故．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、� 因且，得，即 ，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　�、� 聯(lián)立①②解得，，即． 則，， ． 又，故，因此為所求二面角的平面角． 又=(0，－1，0)， 從而，故，為直角三角形，所以 ．