Question

已知sinβ+cosβ=

1

5

，β∈（0，π）
（1）求tanβ的值；
（2）求sin2β的值；
（3）你能根據(jù)所給的條件，自己構(gòu)造出一些求值問題嗎？

Answer 1

考點(diǎn)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）將已知等式兩邊平方，利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系化簡(jiǎn)，求出sinβcosβ的值，進(jìn)而求出sinβ-cosβ的值，聯(lián)立求出sinβ與cosβ的值，即可確定出tanβ的值；
（2）原式利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，將各自的值代入計(jì)算即可求出值；
（3）求出cos2β的值．

解答： 解：（1）將已知等式sinβ+cosβ=

1

5

①，兩邊平方得：（sinβ+cosβ）²=1+2sinβcosβ=

1

25

，即2sinβcosβ=-

24

25

＜0，
∴（sinβ-cosβ）²=1-2sinβcosβ=

49

25

，
∵β∈（0，π），
∴sinβ＞0，cosβ＜0，即sinβ-cosβ＞0，
∴sinβ-cosβ=

7

5

②，
聯(lián)立①②得：sinβ=

4

5

，cosβ=-

3

5

，
則tanβ=

sinβ

cosβ

=-

4

3

；
（2）∵sinβ=

4

5

，cosβ=-

3

5

，
∴sin2β=2sinβcosβ=2×

4

5

×（-

3

5

）=-

24

25

；
（3）∵sinβ=

4

5

，cosβ=-

3

5

，
∴cos2β=cos²β-sin²β=

9

25

-

16

25

=-

7

25

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，熟練掌握基本關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．