Question

本大題共6小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或嚴(yán)三步驟．
已知向量

m

=（sinωx，cosωx），

n

=（cosx，cosx），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=2

m

•

n

-1的最小正周期為π．
（1）求ω的值；
（2）求函數(shù)f（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)的最值,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）將f（x）利用向量的數(shù)量積的運(yùn)算化簡為簡單的三角函數(shù)形式，從而由周期公式可求ω的值；
（Ⅱ）由已知x范圍，先確定2x+

π

4

的取值范圍，又函數(shù)y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是減函數(shù)，故可求函數(shù)f（x）在在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2

m

•

n

-1=2sinωx•cosωx+2cos²ωx-1=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin（2ωx+

π

4

）．  
由題意知：T=π，即

2π

2ω

=π，
解得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f（x）=

2

sin（2ωx+

π

4

），
∵x∈[

π

6

，

π

4

]，得2x+

π

4

∈[

7π

12

，

3π

4

]，
又函數(shù)y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是減函數(shù)，
∴f（x）_max=

2

sin

7π

12

=

2

sin（

π

4

+

π

3

）=

2

sin

π

4

cos

π

3

+

2

cos

π

4

sin

π

3

=

3 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算以及利用倍角公式化簡三角函數(shù)解析式、求三角函數(shù)的最值，屬于中檔題．