Question

設{a_n}是等差數列，從{a₁，a₂，…，a₂₀}中任取3個不同的數，使這3個數仍成等差數列，則這樣不同的等差數列的個數最多有

1. A.
   90
2. B.
   120
3. C.
   180
4. D.
   200

Answer 1

C
分析：先根據等差中項確定數列一定是同奇同偶，然后將20個數分成奇數和偶數兩種情況討論．
解答：選出的數列中 首相+末相=2×中間相
所以 首相+末相 定是偶數
因為a_n為等差，所以可以表示成a_n=d×n+c（關于n的一次函數）
首相+末相=d×（首相項數+末相項數）+2×c
所以（首相項數+末相項數）為偶數
也就是說首相項數與末相項數同奇同偶
于是20個數中10個為奇數，10個位偶數
先任意從10個奇數中取出2個排列，作為首末兩項
這樣可以選出 10×9 個數列
同理任意從10個偶數中取出2個排列，作為首末兩項
這樣也可以選出 10×9 個數列
所以總共可以有 10×9×2=180
故選C．
點評：本題主要考查等差中項的性質．等差數列在數列中占很大的地位，對分析問題和解決問題都很重要．