【題目】如圖 1,在直角梯形中, ,且.現(xiàn)以為一邊向外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直, 為的中點(diǎn),如圖 2.
(1)求證: 平面;
(2)求證: 平面;
(3)求與平面所成角的正弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)見(jiàn)解析;(3)
【解析】試題分析:
(1)取EC中點(diǎn)N,連結(jié)MN,BN.由幾何關(guān)系可證得四邊形ABNM為平行四邊形.則BN∥AM,利用線(xiàn)面平行的判定定理可得平面;
(2) 由幾何關(guān)系有ED⊥AD,利用面面垂直的性質(zhì)定理可得ED⊥平面ABCD,則ED⊥BC,利用直角梯形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可得BC⊥BD,據(jù)此由線(xiàn)面垂直的判定定理有平面;
(3) 作平面PEC于點(diǎn)H,連接CH,則∠DCH為所求的角,利用三棱錐體積相等轉(zhuǎn)化頂點(diǎn)有: ,據(jù)此可求得,利用三角函數(shù)的定義可得與平面所成角的正弦值是.
試題解析:
(1)證明:取中點(diǎn),連結(jié).
在中, 分別為的中點(diǎn),
所以,且.
由已知,
所以四邊形為平行四邊形.
所以.
又因?yàn)?/span>平面,且平面,
所以平面.
(2)證明:在正方形中, ,
又因?yàn)槠矫?/span>平面,且平面平面,
所以平面.
所以
在直角梯形中, ,可得.
在中, .
所以.
所以平面.
(3)作于點(diǎn),連接,則為所求的角
由(2)知,
所以,又因?yàn)?/span>平面
又.
所以,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)為任意給定的質(zhì)數(shù).證明:一定存在質(zhì)數(shù),使得對(duì)任意的整數(shù),數(shù)都不能被整除.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知橢圓C:+y2=1(a>1)的上頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為F,直線(xiàn)AF與圓M:x2+y2-6x-2y+7=0相切.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若不過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線(xiàn)l與橢圓C相交于P,Q兩點(diǎn),且=0,求證:直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)N的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】21世紀(jì)城的街道都是東西向和南北向,為了加強(qiáng)安全管理,在一些十字路口設(shè)置保安亭(任何兩個(gè)保安亭都不在同一街道上),以?xún)蓚(gè)保安亭為其兩個(gè)頂點(diǎn)、街道為邊圍成的矩形稱(chēng)為一個(gè)安全區(qū),安全區(qū)(包括邊界)內(nèi)保安亭的個(gè)數(shù)稱(chēng)為該安全區(qū)的安全強(qiáng)度.如果世紀(jì)城兩個(gè)方向的街道都至少有條,且任何兩條不平行的街道都交成一個(gè)十字路口,今按要求選定個(gè)十字路口設(shè)置保安亭,求安全強(qiáng)度最大的安全區(qū)的安全強(qiáng)度的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)是在點(diǎn)處的切線(xiàn).
(1)求證: ;
(2)設(shè),其中.若對(duì)恒成立,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩個(gè)班級(jí)(各40名學(xué)生)進(jìn)行一門(mén)考試,為易于統(tǒng)計(jì)分析,將甲、乙兩個(gè)班學(xué)生的成績(jī)分成如下四組:,,,,并分別繪制了如下的頻率分布直方圖:
規(guī)定:成績(jī)不低于90分的為優(yōu)秀,低于90分的為不優(yōu)秀.
(1)根據(jù)這次抽查的數(shù)據(jù),填寫(xiě)下面的列聯(lián)表:
優(yōu)秀 | 不優(yōu)秀 | 合計(jì) | |
甲班 | |||
乙班 | |||
合計(jì) |
(2)根據(jù)(1)中的列聯(lián)表,能否有的把握認(rèn)為成績(jī)是否優(yōu)秀與班級(jí)有關(guān)?
附:臨界值參考表與參考公式
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
(,其中)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】“中國(guó)人均讀書(shū)4.3本(包括網(wǎng)絡(luò)文學(xué)和教科書(shū)),比韓國(guó)的11本.法國(guó)的20本.日本的40本.猶太人的64本少得多,是世界上人均讀書(shū)最少的國(guó)家.”這個(gè)論斷被各種媒體反復(fù)引用.出現(xiàn)這樣的統(tǒng)計(jì)結(jié)果無(wú)疑是令人尷尬的,而且和其他國(guó)家相比,我國(guó)國(guó)民的閱讀量如此之低,也和我國(guó)是傳統(tǒng)的文明古國(guó).禮儀之邦的地位不相符.某小區(qū)為了提高小區(qū)內(nèi)人員的讀書(shū)興趣,特舉辦讀書(shū)活動(dòng),準(zhǔn)備進(jìn)一定量的書(shū)籍豐富小區(qū)圖書(shū)站,由于不同年齡段需看不同類(lèi)型的書(shū)籍,為了合理配備資源,現(xiàn)對(duì)小區(qū)內(nèi)看書(shū)人員進(jìn)行年齡調(diào)查,隨機(jī)抽取了一天名讀書(shū)者進(jìn)行調(diào)查,將他們的年齡分成6段: , , , , , 后得到如圖所示的頻率分布直方圖.問(wèn):
(1)估計(jì)在40名讀書(shū)者中年齡分布在的人數(shù);
(2)求40名讀書(shū)者年齡的平均數(shù)和中位數(shù);
(3)若從年齡在的讀書(shū)者中任取2名,求恰有1名讀書(shū)者年齡在的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為和,過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于軸上方的,兩點(diǎn),且.
(Ⅰ)求橢圓的離心率;
(Ⅱ)(。┣笾本(xiàn)的斜率;
(ⅱ)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng),直線(xiàn)上有一點(diǎn)在的外接圓上,求的值.
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