Question

如圖，l₁、l₂是互相垂直的異面直線，MN是它們的公垂線段.點A、B在l₁上,C在l₂上,AM=MB=MN.

(1)證明AC⊥NB;

(2)若∠ACB=60°,求NB與平面ABC所成角的余弦值.

Answer 1

解：如圖建立空間直角坐標系M—xyz，令MN=1，?

則有A（-1，0，0），B（1，0，0），N（0，1，0）.

(1)證明：∵MN是l₁、l₂的公垂線.l₂⊥l₁,

∴l(xiāng)₂⊥平面ABN.?

∴l(xiāng)₂平行于z軸?

故可設C(0,1,m)　　

于是=(1,1,m),=(1,-1,0),?

∵·=1+（-1）+0=0，∴AC⊥NB.

(2)解：∵=(1,1,m), =(-1,1,m).

∴||=||,又已知∠ACD=60°,?

∴△ABC為正三角形，AC=BC=AB=2.在Rt△CNB中，NB=，可得NC=，故C（0，1，）.連結(jié)MC，作NH⊥MC于H，設Ｈ（0，λ, λ）(λ＞0).?

∴=(0,1-λ,- λ),=(0,1, ),?

∵·=1-λ-2λ=0,?

∴λ=.?

∴H(0,,),可得HN=（0，，-），連結(jié)BH，則BH=（-1，，）.?

∵·=0+-=0，?

∴⊥.?

又MC∩BH=H,?

∴HN⊥平面ABC，∠NBH為NB與平面ABC所成的角.又=（-1，1，0），?

∴cos∠NBH===.