Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

-

1

2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（α）=

2

5

2

，且0＜α＜

π

4

，求sinα的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù)

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）先利用二倍角公式和兩角和公式對(duì)函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，進(jìn)而根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求得函數(shù)的值域．
（Ⅱ）先求得cos（α+

π

4

）的值，進(jìn)而根據(jù)正弦的兩角和公式求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=

1

2

sinx+

1

2

+

cosx

2

-

1

2

=

1

2

（sinx+cosx）=

2

2

sin（x+

π

4

），
∵sin（x+

π

4

）∈[-1，1]，
∴

2

2

sin（x+

π

4

）∈[-

2

2

，

2

2

]，
即函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇-

2

2

，

2

2

]．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（α）=

2

2

sin（α+

π

4

），
即

2

2

sin（α+

π

4

）=

2 2

5

，
∴sin（α+

π

4

）=

4

5

，
∵0＜α＜

π

4

，
∴

π

4

＜α+

π

4

＜

π

2

，
∴cos（α+

π

4

）=

3

5

，
∴sinα=sin（α+

π

4

-

π

4

）=sin（α+

π

4

）cos

π

4

-cos（α+

π

4

）sin

π

4

=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)圖象與性質(zhì)．考查了學(xué)生的運(yùn)算能力和細(xì)心程度．