Question

已知向量

m

=（sinωx，cosωx），

n

=（cosωx，cosωx），其中ω＞0，函數(shù)f（x）=2

m

•

n

-1的最小正周期為π．
（Ⅰ） 求ω的值；
（Ⅱ） 求函數(shù)f（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）原式可化簡為f（x）=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)． 從而由周期公式可求ω的值；
（Ⅱ）先確定2x+

π

4

的取值范圍，又函數(shù)y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是減函數(shù)，故可求函數(shù)f（x）在[

π

6

，

π

4

]上的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=2m•n-1=2sinωx•cosωx+2cos²ωx-1
=sin2ωx+cos2ωx=

2

sin(2ωx+

π

4

)．  
由題意知：T=π，即

2π

2ω

=π，
解得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知f(x)=

2

sin(2x+

π

4

)，
∵

π

6

≤x≤

π

4

，得

7π

12

≤2x+

π

4

≤

3π

4

，
又函數(shù)y=sinx在[

7π

12

，

3π

4

]上是減函數(shù)，
∴f(x)max=

2

sin

7π

12

=

2

sin(

π

4

+

π

3

)
=

2

sin

π

4

cos

π

3

+

2

cos

π

4

sin

π

3

=

3 +1

2

．

點評：本題主要考察了兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．