在平面直角坐標系中,已知橢圓
:
(
)的離心率
且橢圓
上的點到點
的距離的最大值為3.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)在橢圓上,是否存在點
,使得直線
:
與圓
:
相交于不同的兩點
、
,且
的面積最大?若存在,求出點
的坐標及對應(yīng)的
的面積;若不存在,請說明理由.
(1);(2)存在,M的坐標為
、
、
、
,最大值為
。
【解析】
試題分析:(1)離心率,得到
,即此時橢圓方程為
,設(shè)橢圓上的點為P
,
兩點間的距離等于3,可得到b=1,所以可求得橢圓方程;(2)在解析幾何中,三角形的面積公式通常有兩種計算方式,??
,本題由于沒有給出角度的關(guān)系,所以采用第一種方法。通過聯(lián)立方程即可得到M的坐標。
試題解析:(Ⅰ)因為,所以
,于是
. 1分
設(shè)橢圓上任一點
,橢圓方程為
,
,
=
①當,即
時,
(此時
舍去; 3分
②當即
時,
5分
綜上橢圓C的方程為。 6分
(Ⅱ)圓心到直線的距離為
,弦長
,所以
的面積為
8分
點
,
10分
當時,
由
得
綜上所述,橢圓上存在四個點、
、
、
,使得直線與圓相交于不同的兩點
、
,且
的面積最大,且最大值為
. 12分
考點:直線與橢圓的位置關(guān)系
科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
已知是橢圓和雙曲線的公共焦點,
是它們的一個公共點,且
,則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
設(shè),(其中
是兩兩垂直的單位向量),若
,則實數(shù)
的值分別是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
已知直線經(jīng)過點
,傾斜角
。
(1)寫出直線的參數(shù)方程;
(2)設(shè)與圓
相交于兩點
、
,求點
到
、
兩點的距離之和。
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年黑龍江省高二上學期期中考試文科數(shù)學試卷(解析版) 題型:選擇題
點P在雙曲線上,
是這條雙曲線的兩個焦點,
,
且的三條邊長成等差數(shù)列,則此雙曲線的離心率是 ( )
A、 B、
C、
D、
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年黑龍江省高一上學期第一次月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:填空題
,
,且
,則實數(shù)
的取值范圍_______________.
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科目:高中數(shù)學 來源:2014-2015學年黑龍江省安達市高一上第一次月考理科數(shù)學試卷(解析版) 題型:解答題
(本題10分)已知集合,
,若
,求實數(shù)
、
的值.
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