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設f(x)=log 
1
2
1-ax
x-1
為奇函數,a為常數,
(1)求a的值;
(2)證明f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞減;
(3)若x∈[3,4],不等式f(x)>(
1
2
x+m恒成立,求實數m的取值范圍.
考點:函數恒成立問題
專題:函數的性質及應用
分析:(1)根據對數的基本運算以及函數奇偶性的性質建立條件關系即可求a的值;
(2)根據函數單調性的定義即可證明f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞減;
(3)結合函數的單調性,利用參數分離法即可求出m的取值范圍.
解答: 解:(1)∵f(x)是奇函數,
∴f(-x)=-f(x),
log
1
2
1+ax
-x-1
=-log
1
2
1-ax
x-1
=log
1
2
x-1
1-ax
,
1+ax
-x-1
=
x-1
1-ax

即(1+ax)(1-ax)=-(x+1)(x-1),
即1-a2x2=1-x2
即a2=1,
∴a=-1或a=1,
若a=1,則
1-ax
x-1
=
1-x
x-1
=-1<0
不滿足條件,舍去,
故a=-1.
(2)∵f(x)=log
1
2
x+1
x-1
=log
1
2
(1+
2
x-1
)
,(x>1),
設1<x1<x2,則△x=x2-x1>0
(1+
2
x1-1
)>(1+
2
x2-1
)>1

log
1
2
(1+
2
x1-1
)<log
1
2
(1+
2
x2-1
)

∴△y=f(x2)-f(x1)>0,f(x)在區(qū)間(1,+∞)上單調遞增.
(3)設g(x)=log
1
2
x+1
x-1
-(
1
2
)x

則g(x)在[3,4]上是增函數
∴g(x)>m對x∈[3,4]恒成立,
∴m<g(3)=-
9
8
點評:本題主要考查函數奇偶性的應用,單調性的證明以及不等式恒成立問題,構造函數,利用參數分離法是解決函數恒成立問題的基本方法.
練習冊系列答案
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1
2
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1
2
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2
2
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2
2

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日    期1月11日1月12日1月13日1月14日1月15日
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銷量y(杯)2325302621
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(Ⅱ)請根據所給五組數據,求出y關于x的線性回歸方程
y
=
b
x+
a
;
(Ⅲ)根據(Ⅱ)中所得的線性回歸方程,若天氣預報1月16日的白天平均氣溫7(°C),請預測該奶茶店這種飲料的銷量.
(參考公式:
b
=
n
i=1
(xi-
.
x
)(yi-
.
y
)
n
i=1
(xi-
.
x
)2
,
a
=
.
y
-
b
.
x

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